Page 163 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

4.11.2 Steiner - Lehmus (1833 ) Teoremi

İki iç açıortayı uzunlukça eşit İspat:
olan bir üçgen, ikizkenar bir
Q P 1- ABC üçgeninde, I içteğet çemberin merkezi olsun.
üçgendir.
BA ve CA doğruları üzerinde P ve Q noktalarını
IAPI=IAQI=IBCI olacak şekilde alalım. APQ ikizke-
A
nar üçgeninde IA açıortay doğrusu, aynı zamanda
yükseklik ve kenarortay işlevi görür. Burada APQ
F E Q' P'
A ikizkenardır, IPQ üçgeni de ikizkenardır ve
I |IQ|=|IP| dir.
F E
B C I

B C
Uyarı: 2- P ve Q noktalarından, BE ve CF açıortaylarına çizilen yükseklik ayakları sırasıyla P' ve Q'
olsun. Açıortay doğrusu üzerindeki E noktasından kollara indirilen dikmeler eşit olduğundan,
İkizkenar olmayan bir üçgenin A(PEA)=A(BEC) dir. Buradan A(ABC)=A(ABE)+A(BEC)=A(ABE)+A(PEA)=A(PEB) olur. Benzer
iki dış açıortay uzunluğu eşit
olabilir. (Steiner-Lehmus şekilde A(ABC)=A(QFC) olacağı için A(PEB)=A(QFC) dir. Bize başlangıçta IBEI=ICFI verildi-
Teoremi, dış açıortaylar için ğinden IPP'I=IQQ'I olmalıdır.
geçerli değildir) Örneğin aşa- 3- Şunu biliyoruz; IQA ≅ IPA (KKK) olduğundan s(IQA)=s(IPA) dır. Ayrıca PIP' ≅ QIQ' olduğundan
ğıdaki Bottema Üçgeni' nde, şunu söyleriz; s(QCI)=s(PBI) olmalıdır. Bu zaten s(CBA)=s(BCA) demektir.
B ve T açılarının dış açıortay
uzunlukları eşittir.

Soru (1990 İMO Shortlist):
ABC üçgeninin AD ve BF açıortay doğruları, C noktasından [AB] kenarına çizilen para-
O lel doğruyu sırasıyla E ve G noktalarında kesmektedir. İspat ediniz ki IFGI=IDEI ise
36° ICAI=ICBI dir.
132° T Çözüm:

B A B A
I I
D F D F
12°

E C G E C G
B

1- İlk bakışta, ABF ≈ CFG ve DEC ≈ DAB (AA) olduğu görülmektedir. Ayrıca, [AD] ve [BF] nin
açıortay olduğunu aklımızda tutuyoruz. Şu halde

2- Üçgenin şu özelliğini hatırlayalım: IACI>IBCI iken IADI>IBFI olmalıdır. Yani, eşitliğin aynı tara-
fındaki iki büyüklük aynı anda büyük olamayacağından, IACI=IBCI olması gerekir.
162