Page 165 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru:
A
ABC üçgeninde; AN iç açıortay doğrusunun çevrel çemberi kestiği nokta X olmak üzere,
N noktasından [AB] ve [AC] kenarlarına çizilen dikme ayakları sırasıyla D ve E ise;
D
E A(ADXE)=A(ABC) dir. Gösteriniz.
B C
N Çözüm:
A 1- AN açıortay doğrusundan kolara indirilen dikmeler eşit oldu-
ğundan IDNI=IENI ve IXKI=IXLI dir. Öte yandan, ABXC kirişler
X dörtgeninde IXBI=IXCI dir. Bu ikisi ile şuna varırız:
D KBX ≅ LCX. Buradan da A(KBN)=A(CNL) yi anlarız.
E
K 2- Alan kaydırma tekniğiyle, DN II KX olan DNXK dik yamuğun-
B C da, A(DNX)=A(DNK)=A(DBN)-A(KBN) ve ENXL dik yamuğun-
N da, A(ENX)=A(ENL)=A(ENC)+A(CNL) dir. Taraf tarafa topla-
L
nırsa, A(NDXE)=A(DBN)+A(ENC) olur. Buradan
A(ADXE)=A(ABC) bulunur.
X

Soru:
A
Ceva teoremini, Menelaus teoreminden faydalanarak gösteriniz.
Y
Z Çözüm:
K A A 1- Menelaus teoremini kullanalım.
B X C
Y
Z
K K
B X C B X C eşitlikeri elde edilir.

2- Bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa, karşımıza Ceva teoremi çıkar.

Soru:
A
Bir üçgende iç açıortayların bir noktada kesiştiğini, Ceva teoremi ile gösteriniz.
F
E
Çözüm:
A 1- Açıortay teoreminden
B D C
Bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa,
F
E
I
C B C 2- Ceva teoreminin karşıtına göre; [AD], [BF] ve [CE] bir
D
noktada kesişir.
* Bir üçgende kenarortayların bir noktada kesiştiğini de siz gösteriniz.

164