Page 174 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

Soru (2001 TÜRKİYE):
Yüksekliklerin orta noktaları doğrudaş olan bir üçgenin en büyük kenar uzunluğu 10
ise, alanı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
1- Hipotenüsü 10 olan ikizkenar dik üçgenin alanı en çok 25 olabilir.
(Dik olmayan üçgenlerin yüksekliklerinin orta noktaları doğrusal değildir. Niçin?)

Soru (2001 TÜRKİYE):
En az bir kenarının uzunluğu 1 olup, tüm köşegenlerin uzunlukları tamsayılar olan
bir dışbükey çokgenin en çok kaç kenarı olabilir?
Çözüm:
A A 1- IABI=1 olsun. Üçgen eşitsizliğine göre,
|DB|-|DA|<1<|DB|+|DA| olmalıdır.
Köşegenler tamsayı olduğu için, birinci
1 1 taraftan, |DB|-|DA|=0 ve |DB|=|DA| bulu-
nur. Aynı şekilde |EB|=|EA| vb. olacağın-
D dan bu koşul, D ve E gibi çokgenin diğer
D
B B köşelerinin, [AB] nin kenar orta dikmesi
E üzerinde olmasını gerektirir. Yani çokgenin
C F C en çok 4 kenarı olabilir. (Kenar uzunluğu 1
ve köşegen uzunluğu 3 olan ABCD dikdört-
geni çizilebilir.)

Soru:
Bir ABC üçgeninde olduğunu
gösteriniz.
Çözüm:

173