Page 179 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

G Soru:
H ABC üçgeninin [BC] kenarı üzerinde D noktası alınıyor. IBDI=IDCI, s(ACB)=30° ve
F
A s(ADB)=45° ise s(ABC) kaç derecedir?
K
Çözüm:
B C
X A A 1- [AH] yüksekliğini çizip
IAHI=IHDI=x ve IBDI=IDCI=1
alırsak, IHBI=x-1 ve IHCI=x+1
x olur. Burada
2
D L E
45° 30° 45° 30°
G B D C H x-1 B 1 D 1 C
H 2- AHB dik üçgeninde pisagor teoreminden
F
A
K
B X C
3- ABC ve DBA üçgenleri benzer (B açısı ortak ve kenarlar orantılı) olduğundan
s(BAD)=s(BCA)=30° olur .Böylece s(ABD)=105° bulunur. (Bu sorunun sentetik çözümü
için sayfa 117 ye bakabiliriz)
D L E
Soru (1993 TÜRKİYE):
2
* IABI =IBXI.IBCI ve
2 s(B)=90° olan ABC dik üçgeninde [AC] kenarının orta noktası D dir. ABD ve DBC üçgen-
ICAI =ICXI.ICBI olduğundan
A(ABFG)=A(BXLD) ve lerinin çevrel çemberlerinin yarıçapları sıra ile x, y ve ABC üçgeninin kenar uzunlukları
A(ACKH)=A(CXLE) dir.
cinsinden ifadesi nedir?
** Öklid’in şeklinde, Pisagor
Teoremi gösterilebilir;
FBC ve ABD üçgenleri eş (KAK) Çözüm:
olduğundan alanları eşittir.
A A 1- ABD ve DBC üçgenlerinde sinüs teoreminden
[FB]//[GC] olduğundan, b b
A(FBC)=A(FBG)=A(ABFG)/2 dir. 90 - 2 90 - 2
°
°
[BD]//[XL] olduğundan, D c D
A(ABD)=A(BDL)=A(BDLX)/2 dir. b b b b
2 2 2 2
Buradan A(ABFG)=A(BDLX) olur.

Benzer şekilde ACKH karesinin B C B a C
alanı da XLEC dikdörtgeninin
alanına eşit olduğundan
2 2 2
IABI +IACI =IBCI dir.
*** Öklid' in şekli başka özellikler
de taşır. Örneğin AE ile BK ve Soru (2007 ÇİN):
CF ile AD doğruları birbirine
diktir. Heron’un ispatladığı gibi ABC dar açılı üçgeninde [AB] çaplı çember AC ve BC doğrularını sırasıyla M ve N nok-
[AL],[CF] ve [BK] bir noktada talarında kesiyor. Çember üzerinde, C ile aynı tarafta alınan T noktası için CT⊥AB dir.
kesişir... AN doğrusu üzerinde alınan S noktası için IBSI=IBTI ise, BS⊥SC olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
A 1- CT ve AB doğruları K noktasında kesişsin.
[AB] çap verildiği için s(BTA)=90° dir. Öklit
2
bağıntısından IBTI =IBKI.IBAI dır. IBTI=IBSI
2
olduğu için IBSI =IBKI.IBAI olur. KAS çembe-
S S
K rine, BS doğrusunun teğet olma şartı sağlan-
H M H M dığından s(KSB)=s(KAS)=s(BAN)=s(KCB) dir.
Buradan BKSC çembersel olur ve
T T
B N C B N C s(BKC)=s(BSC)=90° olduğu kesinleşir.
178