Page 182 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

4.14 Van Aubel Teoremi - II

ABC üçgeninin kenarları üze- Soru (1993 AİME):
rine D, E ve F merkezli kareler IABI=1995, IBCI=1993, IACI=1994 olan ABC üçgeninde [CX] yüksekliği çiziliyor. ACX
kurulduğunda [AD]⊥[EF] ve
IADI=IEFI olur. ve BCX üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin [CX] doğru parçasına değme noktala-
rı arasındaki uzaklığı bulunuz.

İspat: Çözüm:
K A A 1- Daha önce, s(B)=90° olan ABC dik üçgeninde a+c-b=2r
olduğunu göstermiştik.
x Burada ICXI=h, IXAI=x, IXBI=y olmak üzere, ACX ve
F A P R P r' R
X X BCX üçgenlerinin içteğet çemberlerinin yarıçapları r' ve r''
E ise, 2r'=x+h-b ve 2r''=y+h-a olur.
E G S y E r'' G S
B C Bu eşitlikler taraf tarafa çıkartılırsa,
B F C B F C
I2r'-2r''I=2IGSI=Ix-y-b+aI bağıntısı elde edilir.
D
K

F A
E
45°

C Soru:
B 45°
ABCD dikdörtgen olmak üzere, [AB] çaplı O merkezli yarım çember, ABCD dikdörtgeni-
D
nin kenarlarına A, B ve F noktalarında teğettir. [AC] köşegeni çemberi E noktasında kes-
mektedir. [AE] nin orta noktası K ise, s(AKB) kaç derecedir?
K
Çözüm:
F A D F C D F C 1- ABCD dikdörtgen olduğundan IABI=2IBCI dir.
E
E E Dolayısıyla, AEB ≈ ABC (AA) olduğu için
1 IAEI=2IBEI dir. Buradan IKEI=IEBI ve
B C K K
s(AKB)=135° bulunur.
D
A O B A 1 O 1 B
Soru:
C açısı dik olan ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O olmak üzere, [AQ] ve [CQ]
iç açıortayları çiziliyor; AQ doğrusu [BC] yi P noktasında, çemberi D noktasında kesiyor.
IPQI=2IPDI=2 ise, IAQI nedir?

Çözüm:
C C 1- Q noktasının, ACB dik
2- [AD] ve [EF] rotasyon sonu- üçgeninin iç teğet çem-
cunda [CK] ya dönüşüyor. 1 D 1 D berinin merkezi olduğu
2 2
45°+(-45)°=0 olduğundan, x Q P x Q P açıktır. s(CAD)=s(CBD)
rotasyondan önce bunlar ve [BQ] açıortay oldu-
ğundan, QDB ikizkenar
birbirine dik durumdadır.
A O B A O B ve IQDI=IBDI=3 olur.
2- (AA) benzerliğiyle, PDB ≈ BDA olur. Şu halde

181