Page 185 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru:
m ve n tarafından üretilen bir dik üçgenin iç yarıçapının n.(m-n) olduğunu göste-
m ve n doğal sayı riniz.
olmak üzere, aşa-
ğıdaki formda
oluşturulan (x,y,z) Çözüm:
üçlüsüne Pisagor
Üçlüsü denir.
m ve n sayıları,
biri tek diğeri çift
alınırsa İlkel
Pisagor Üçlüleri
oluşur.

Soru (1993 ESTONYA):
Bir dik üçgenin alanının, iç teğet çemberin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların
A uzunlukları çarpımına eşit olduğunu gösteriniz.
b=2mn A Çözüm: A

u-a
F F
B u-a
C
u-b
E E
u-c
m n a b c r
C D B C u-c D u-b B
2 1 3 4 5 r=1
3 1 8 6 10
3 2 5 12 13 r=2
4 1 15 8 17 r=3
4 2 12 16 20
4 3 7 24 25 r=3
5 1 24 10 26 Soru (2000 TÜRKİYE):
5 2 21 20 29 Alanı a olan bir dik üçgenin iç teğet çemberi ile, alanı b olan bir dik üçgenin çevrel çemberi
5 3 16 30 34
aynı çember ise, en az kaçtır?
5 4 9 40 41
Çözüm:
A A 1- oranında a değeri minimum ve b değeri mak-
simum seçilmelidir.
A(ABC)=IAFI.IFBI nin minimum değeri için
F F IAFI=IFBI olmalıdır. Ortak çemberin yarıçapı r
r olmak üzere, |AF|=|FB| ve |AC|=|BC| olur.
E E
r Bu halde r=ñ2|AF|-|AF| dir.
C D B C D B

3- r yarıçaplı çemberi, çevrel çember kabul eden dik üçgenin alanının maksimum değeri için, bu
2
üçgenin ikizkenar olması gerekir. Bu ikizkenarın alanı b olarak verilmiş; o halde b=r dir.

184