Page 196 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

Soru (1994 TÜRKİYE):
Belli bir birime göre tüm kenar uzunlukları tamsayılar ve bir kenarın uzunluğu da
6 olan kaç tane dik üçgen vardır?
Çözüm:

1- Önce dik kenar uzunluklarından birini 6 olarak alalım. Bu halde,

2
2
2- Şimdi de hipotenüs 6 olsun, yani y +x =36 olsun. Bu denklemi sağlayacak doğal sayı olmadı-
ğından, problemin koşuluna uygun sadece bir tane üçgen vardır (6-8-10).
Soru:
Kenar uzunluğu x olan ABC eşkenarının içerisinde alınan P noktası için; IPAI=a, IPBI=b ve
IPCI=c olmak üzere c =a +b ise, ABC üçgeninin alanını a, b ve c cinsinden bulunuz.
2
2
2
Çözüm:
A A a 1- APB, APC ve BPC üçgenlerinin sırasıyla [AB],
B' a B' [AC] ve [BC] kenarlarına göre simetriğini alıp
C' a C'
AC'B, AB'C ve BA'C üçgenlerini oluşturalım.
Şu halde C'AB', C'BA' ve A'CB' ikizkenar üçgen-
P b P c
b c lerinin tepe açıları 120° olur. Dolayısıyla
B C B C
b
c
A' A'
2- A'C'B' bir dik üçgendir. (Pisagor teoreminin karşıtının doğru olduğunu daha önce göstermiştik.)

* ABC üçgeninin alanını kosinüs teoremi uygulayarak da bulabiliriz.

Soru (1987 AİME):
s(B)=90° olan ABC dik üçgeninin içerisinde bir P noktası alınıyor. P noktasıyla köşeler
birleştirilince P deki herbir açı 120° oluyor. IPAI=10, IPBI=6 ise IPCI nedir?
Çözüm:
A A 1- IPCI=x alıp, kosinus teoremi
uygularsak,
10 10
120° 120°
120° 120°
P P
6 x 6 x
B C B 6 + x + 6x C
2
2

195