Page 197 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru (1985 KANADA):
Kenarları 6, 8, 10 olan bir üçgende; alanı ve çevreyi iki eşit parçaya bölen sadece
bir doğru olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
1- Alanı ve çevreyi ikiye bölen B-doğrusu için üç durum
A A A
söz konusudur. B-doğrusu 8-10 ,6-8 veya 6-10 kenar-
y larını kesebilir. Bu durumları tek tek inceleyelim.
8 10 x 10 B-doğrusu 8-10 kenarlarını kestiğinde,
y

B 6 C B 6 C B x C

çelişkisi elde edilir.
2-B doğrusu 6-8 kenarlarını kestiğinde, çelişkisi elde edilir.
3-B doğrusu 6-10 kenarlarını kestiğinde ise şeklin-
de bir tek çözüm bulunur.

A
Soru (1987 AİME):
Yandaki şekilde bir dik üçgenin içerisindeki iki kareden, birincinin alanı 441 ve ikincisi-
nin alanı 440 ise, üçgenin kısa kenarlarının uzunlukları toplamını bulunuz.
441
Çözüm:
B C
A
A A 1- Şekildeki gibi harflendirmeler yapılırsa,
‘Benzer üçgenlerin alanları oranı benzerlik
X 21 440
Z
440 oranının karesine eşittir.’ kaidesiyle
441
440
440
441 Y T
B C R
B C B C
X=441S ve Y=441P alınırsa, Z=440S ve T=440P olur. Toplam alanlar eşit olduğundan
X+Y+441=Z+T+R+440 ise R=1+S+P dir. Bu aşamada A(ABC)=441(1+S+P) dir.
İki benzer dik üçgenin alanları, oranı hipotenüsleri oranının karesine eşittir. Şu halde

2- ABC üçgeninin yüksekliği, R alanlı benzerinin yüksekliğinin 21 katıdır. ABC üçgeninin kenar
uzunlukları a, b, c ve hipotenüse ait yükseklik h ile gösterilirse,

196