Page 201 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru:
Ağırlık merkezi G olan ABC üçgeninin [AC] ve [BC] kenarlarının orta noktaları sırasıyla
X ve Y, [AG] ve [BG] doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla Z ve T ise, XYTZ dört-
geninin bir paralelkenar olduğunu gösteriniz.

Çözüm:
A A 1- IABI=2c alınırsa, [ZT]//[AB] ve ITZI=c
olur. Öte yandan, X ve Y orta nokta
verildiği için [XY] // [AB] ve IXYI=c dir.
Z Z 2- Bunun gibi IXZI=IYTI ve [XZ] // [YT]
X 2c X olduğu gösterilir. Nitekim XYTZ nin
c
bir paralelkenar olduğu anlaşılır.
G G c
T T
B Y C B Y C

Soru:
ABC üçgeninde olduğunu ispat ediniz.

Çözüm:
A A 1- [AD] kenarortayını IGDI kadar uza-
tın; (KAK) eşlik kriteriyle
GDC ≅ EDB olur. Bu noktada BGE
üçgeninin kenar uzunlukları, ABC
üçgeninin kenarortay uzunlukları-
nın 2/3 katına eşit olmaktadır. BDE
G
G üçgeninde üçgen eşitsizliğinden
B D C B D C

E

Soru (1936 EÖTVÖS):
ABC üçgeninin içerisinde alınan bir P noktası için PAB, PBC, PCA üçgenlerinin alanları
eşit ise, P noktasının ağırlık merkezi olduğunu gösteriniz.

Çözüm:
A A 1- AP uzantısı [BC] kenarını D nokta-
sında kessin. Kolayca anlaşılacağı
gibi, B ve C köşelerinden AP ye
indirilen dikmeler eşittir. (Hem
A(PAB)= A(PAC) hem de bu üçgen-
lerin [PA] tabanları ortaktır.)
P P Dolayısıyla IBDI=IDCI ile P noktası-
nın V üzerinde olduğu anlaşılır.
a
2- Diğer taraftan P noktası V ve V
B C B D C b c
üzerinde olur ki tüm bunlar P nin
ağırlık merkezi olduğunu gösterir.
200