Page 199 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

4.16 Kenarortay Teoremi

Bir ABC üçgeninde a kenarına İspat: A A
ait kenarortay uzunluğu V
a
olmak üzere, c V b c b
a h V a
x
B C B C
D H D
a a
2 2
Herhangi bir üçgenin üç
kenarortayının bir noktada 1- AHC ve AHB üçgenlerinde pisagor teoremini uygularsak,
kesiştiğini ve kesişme nokta-
sında 2:1 oranının olduğunu
Arşimet (M.Ö. 3.yy) fiziksel
deneyle göstermiştir. Ağırlıksız Bu eşitlikleri taraf tarafa topladığımızda
çubuklar üzerinde denge nok-
talarının yerini bilen Arşimet, 3- Şimdi de AHD üçgeninde pisagor teoremi uygulayalım:
ABC üçgeninin köşelerine
birim kütle yerleştirerek G nok-
tasının yerini aramaya başlar.
Önce B ve C noktaları için D
noktasını, sonra da A ve D
noktaları için G noktasını belir- Soru:
ler. Benzer şekilde deneyini Bir üçgende, ağırlık merkezi ile herhangi bir köşe arasındaki uzaklık, o köşeden
sürdürerek G ağırlık merkezi-
ne ulaşır. geçen kenarortay uzunluğunun üne eşittir. Kanıtlayınız.
Çözüm:
A 1- A, F ve D noktalarından BE
A A kenarortayına paraleller çizelim.
Temel orantı teoreminden
B C P
m
F E F E
m R
m G G

B D C B D C
A
2- ADR üçgenine bakalım; Tales teoreminden,
2x
G
x
B C
D
m
m
2m m Soru (2000 TÜRKİYE):
Bir ABC üçgeninde [BD] kenarortay, s(ABD)=90°, IABI=2 ve IACI=6 ise, IBCI nedir?
Çözüm:
A 3 D 3 C A 3 D 3 C
1
5 6
2 2 E
6
B B

198