Page 202 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

Soru (1986 BALKAN):
ABC üçgeninin içerisinde alınan P noktası için; PAB, PBC ve PCA üçgenlerinin alanları
ve çevreleri eşit ise, ABC eşkenar üçgendir. P noktası ABC üçgeninin dışında alındı-
ğında yine eşitlik sağlanıyorsa, ABC dik üçgendir. Gösteriniz.

Çözüm:
A 1- Önce P noktasının üçgenin içerisinde olma
P A durumunu inceleyeceğiz. Yukarıdaki 1936
Eötvös sorusunun sonucu olarak, alanlar
eşit ise P noktası ağırlık merkezidir, diyebiliriz.
s(ABC)<s(ACB) alırsak IACI<IABI ve V <V b
c
P olur. P ağırlık merkezi ise IPCI<IPBI dir.
Hem IACI<IABI hem de IPCI<IPBI ise
B C B C
Ç(PAC) <Ç(PAB) olur ki bu bir çelişkidir.
Şu uğraşı bize s(ABC)=s(ACB) olduğunu anlatır. Benzer uygulamayla bütün açılar eşit olaca-
ğı için, üzerinde konuştuğumuz üçgen eşkenar bir üçgendir.
2- Şimdi de P noktasını, üçgenin dışarısında alalım. A(PBA)=A(PBC) verildiği için, A ve C nokta-
larının [PB] ye olan uzaklıkları eşittir yani [AC] // [PB] dir. Aynı şekilde [BC] // [PA] olacağı için,
PACB bir paralelkenardır. Problemdeki çevreler de eşit şartı ile IPCI=IABI olur, yani PACB
paralelkenarı bir dikdörtgene dönüşür. Bu sayede s(ACB)=90° olduğunu anlarız.
Soru:
Bir ABC üçgeninde, [EF] orta taban ve G ağırlık merkezi ise,
Kanıtlayınız.
Çözüm:
A A 1- Şekildeki, EGF ≈ BGC olduğu için

3
F E F P 3S E Kolayca IPGI=1 ise IDGI=2 olur.
1 S IAGI= 2IGDI=4 olduğundan IAPI=3
4S
G G bulunur. (3-1-2 kuralı)
2
2- A(EPG)=S ise A(EPA)=3S,
A(CGE)=4S ve A(CGD)=4S tir.
B D C B D C
Bu ispatı tamamlar.
Soru (1997 İNGİLTERE):
ABC dar açılı üçgeninde, [BM] kenarortayının ve [CF] yüksekliğinin uzunlukları birbirine
eşit ve s(MBC)=s(FCA) ise, ABC üçgeni eşkenardır. Gösteriniz.

Çözüm:
A A 1- ICMI=IMAI=x dersek, muhteşem üçlüden,
IMFI=x olur. Bu aşamada s(MBC)=s(FCA)=α
x
alırsak, s(MFC)=α ve IFCI=2x.cosα olur.
M x M 2- MFBC çemberseldir; çünkü s(MFC)=s(MBC)=α
F F
x dır. Bu yüzden s(BFC)=s(BMC)=90° dir.

xcos
B C B C

Sonuçta s(BCM)=60°, s(BCF)=30° olduğundan ABC üçgeni bir eşkenar üçgendir.

201