Page 206 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

Soru (1993 TÜRKİYE):
ABC üçgeninde, A ve B köşelerinden çizilen kenarortaylar dik kesişmektedir. IBCI=7,
IACI=9 olduğuna göre IABI nedir?
Çözüm:
1- Yukarıdaki bağıntıyı kullanalım:

Soru:
Bir üçgende olduğunu gösteriniz.

Çözüm:
1- Kenarortay teoreminden;

2- Bu eşitlikler taraf tarafa toplanırsa,

Soru (2007 UKRAYNA):

ABC üçgeninin [AB] kenarı üzerinde D noktası veriliyor. [BC] ve [AC] kenarları üzerinde
öyle E ve F noktaları belirleyiniz ki [DE] ve [DF] nin orta noktaları B noktası ile doğ-
rusal iken, [DE] ve [EF] nin orta noktaları da C noktası ile doğrusal olsun.

Çözüm:
A A 1- [DE], [EF] ve [DF] nin orta nokta-
ları sırasıyla P, Q ve R olsun. Bir an
için B-P-R nin ve C-Q-P nin doğru-
sal olduğunu kabul edip,
BR ∩ AC={S} diyelim. Şu halde, P
D S D S ve R orta noktadır ve PR//EF dir.
R
F F Ayrıca BS//EF ve IEQI=IQFI oldu-
P Q ğundan, BCS üçgeninde CP kenar-
B E C B E C ortaydır. Sonuçta hem IBPI=IPSI
hem de IDPI=IPEI olur; yani DBES
bir paralelkenar olmaktadır.

2- Bu bilgiler ışığında; DBES paralelkenarını oluşturup, önce BS köşegenini sonra da bu köşe-
gene paralel olan EF yi çizelim. [BS] nin orta noktası P, PC ve EF nin kesim noktası Q, BS ve
DF nin kesim noktası R olarak harflendirilirse, tüm şartlar sağlanmış olur.
D F
C Soru:
ABCD deltoidinde IABI=IBCI, E ve F orta nokta, IACI=10, IEFI=13 ise A(ABCD) nedir?

A E B Çözüm:

D F 1- AC ⊥ AD olduğunu biliyoruz. K∈[AD] alıp,
C [FK] // [CA] çizince IFKI=5 ve IKEI=12 olur.
Buradan IDBI=24 ve A(ABCD)=120 bulunur.
K
A E B

205