Page 207 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru (2008 ROMANYA):
IABI≠IBCI olan O merkezli ABCD dikdörtgeninde, O noktasından BD doğrusuna dik olan
bir doğru, AB ve BC doğrularını sırasıyla E ve F noktalarında kesmektedir. [CD] ve [AD]
kenarlarının orta noktaları sırasıyla M ve N ise, FM ⊥ EN olduğunu gösteriniz.

Çözüm:
F F 1- IABI=a, IBCI=b ve s(ABD)=α
alalım. Şu halde,
2 2
a b
2b
D M C D M C

N N O b
O b
K
2

2
A E B A 2 b 2 E a b 2 B
a
2a 2a
Benzer şekilde
2- FM ∩ EN = {K} olsun. Bu aşamada küçük bir sürpriz var: tan(ANE)=tan(DMK)=tan(CMF) dir.
Yani KNDM bir kirişler dörtgenidir ya da FM ⊥ EN dir.

Soru ( 1997 TÜRKİYE ):
[AC] ve [BD] köşegenlerinin orta noktaları sırasıyla M ve N (M≠N) olan bir ABCD dört-
geninde MN doğrusu [AD] kenarını P, [BC] kenarını da Q noktasında kesiyor.
A(MAP)=x ve A(PDCM)=y ise IQBI:IQCI oranı nedir?

Çözüm:
B B 1- BA ve QP doğrularının kesiştiği yer K ise,
A A Menelaus teoreminden
K
P
P
N N
M M
Q Q
C D C D

206