Page 208 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

Soru ( 2003 TÜRKİYE ) :
Bir ABC üçgeninde kenarortayların kesişim noktası G, iç teğet çemberin merkezi I ve
GI ⊥ BC dir. IABI=c, IACI=b olduğuna göre, IBCI nedir?
Çözüm:

G G
2 2 2 2
V V V V
3 b 3 c 3 b 3 c
I I
B H C B u-b H u-c C

Soru ( 1988 SOVYETLER BİRLİĞİ ):
ABC dar açılı üçgeninde, [BD] ve [CE] yükseklikleri çiziliyor. F ve G noktaları ED doğru-
su üzerinde, BF ve CG doğruları ED ile dik kesişecek şekilde alınıyor. İspat ediniz ki
IEFI=IDGI dir.

Çözüm:
A A 1- ABC üçgeninin iç açılarını sırasıyla α, β, θ
alalım. Bu durumda s(ECB)=90°-β ve
s(DBC)=90°-θ olur.
2- BEDC kirişler dörtgeni olduğundan
s(EDB)=s(ECB)=90°-β ve s(GDC)=β olur.
D G D G Benzer şekilde s(FEB)=θ dır.
E E
F F
3- BCD dik üçgeninde IDCI=IBCIsin(90°-θ) ve
DGC dik üçgeninde IDGI=ICDIsin(90°-β)
olduğundan IDGI=IBCIcosθcosβ olur.
B C B C
Aynı düşünce ile IEFI=IBCIcosθcosβ olacağından IEFI=IDGI dir.
T(ABC) T' T'' Soru ( 1940 EÖTVÖS ):
4a V a 3a T bir üçgen olmak üzere, kenarları T üçgeninin kenarortaylarına eşit olan T' üçgeni-
4b V b 3b nin var olduğunu ve bu şekilde elde edilen T'' üçgeninin T üçgenine benzediğini
4c c V 3c gösteriniz.
Çözüm:
A B' A 1- ABC üçgeninde X ve Y sırasıyla [BC]
c V c V ve [AC] nin orta noktası olsun. B nokta-
2b
4c Y Z Y Z sının Y noktasına göre simetriği B' nok-
b V a tası ise, ABCB' bir paralelkenardır.
O b [B'C] nin orta noktası Z ise [YZ] // [AB']
Uyarı: B 2a X 2a C X b V ve IAB'I=2IYZI dir.
Bir üçgenin kenarortayları 2- [YZ] // [BX] ve IYZI=IBXI ile YZXB nin bir paralelkenar ve dolayısıyla IXZI=V b olduğu söylenebilir. Buna ek
daima bir üçgen oluşturduğu olarak IAZI=V olduğu için; AXZ üçgeni, ABC üçgeninin kenarortay uzunluklarına eşit olan üçgendir.
c
halde, yükseklikler veya iç 3- YXCZ paralelkenarında [XZ] nin orta noktası O olsun. Köşegenler birbirini ortaladığından, AXZ (T') üçgenin-
açıortaylar daima bir üçgen de [AO] kenarortay olur. IOCI=b iken IAOI=3b ve IACI=4b dir. Böyle devam edilirse, (KKK) benzerlik prensi-
oluşturmaz. biyle, T'' ve T üçgenlerinin 3:4 oranında birbirine benzeyen iki üçgen olduğu anlaşılır.

207