Page 209 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru ( 1932 EÖTVÖS ):
IABI≠IACI olan ABC üçgeninde; [AD] ,[AN] ve [AH] sırasıyla, kenarortay, açıortay ve yük-
seklik ise, N noktası daima H ve D noktaları arasındadır. Eğer üçgen dar açılı üçgen ise,
s(DAN)<s(HAN) dir. Gösteriniz.

Çözüm:
A A 1- s(A)=2α ve s(B)>s(C) olsun.
Önce bu noktaların H-N-D şeklinde
sıralandığını göstereceğiz.
s(B)+s(B)+s(A)>s(C)+s(B)+s(A)=180°
O
2s(B)+2α>180° ve s(B)+α>90° olur.
B C B C
H N D HN D ANB üçgeninde s(ANB)<90° olduğun-
dan H noktası B ve N noktaları ara-
sındadır.
A'
2- H ve N noktalarının yeri belli iken D noktası (orta nokta olduğundan), C ve N noktaları arasın-
dadır.
Çünkü; s(B)>s(C) ise IACI>IABI dir. [AN] açıortay ise ve ICNI>IBNI dir. Yani D ,
C ye daha yakın olmalıdır. Toparlayacak olursak bu noktalar H-N-D şeklinde sıralanmaktadır.
3- Üçgen dar açılı ise çevrel çemberin merkezi üçgenin içerisinde olur. BC küçük yayının orta nok-
tasına A' dersek, AOA' ikizkenar ve BC ⊥ OA' olur. Halihazırda A, N, A' doğrusal ve
s(DAN)=s(DAA')<s(OAA')=s(HAN) dir.

4.17 Leibniz Teoremi

ABC üçgeninin ağırlık merkezi G olmak üzere, P keyfi bir iç nokta ise,

İspat:
A A

K
c b
1- [AD] kenarortayı üzerinde
P P
G G IAKI=IKGI=IGDI olacak şekilde
K noktası alalım. Şu halde
B a C B D C

Bu eşitlikleri taraf tarafa toplarsak;

208