Page 232 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

4. BÖLÜM ÜÇGENLER - II

Soru:
Gösteriniz ki bir üçgende kenarların orta noktaları ile yükseklik ayakları çember-
seldir.
Çözüm:
A A 1- [AH] yükseklik, kenarların orta nok-
taları E, D ve F olmak üzere,
s(HAC)=α ve s(HAF)=β olsun.
Muhteşem üçlüden s(EHA)=α ve
F E F E
s(FHA)=β olur.
2- AFDE bir paralelkenar olduğundan
s(D)=s(A)=α+β dır.
B C B D C
D H H
3- FDHE dörtgeninde s(D)=s(H) olduğu için F, D, H, E çemberseldir.
Benzer adımlar takip edilerek ispat tamamlanır.

4.22 Dokuz Nokta Çemberi

Aşağıdaki ilginç problemi İspat:
1821 yılında Brianchon ve
Poncelet dünyaya duyurdu. A A 1- [BC], [AC], [AB] kenarlarına ait yük-
''Bir üçgende; 3 yükseklik seklik ayakları A , B , C ; bu
1
1
1
ayağı, 3 kenarın orta noktası C 1 A 3 C 1 A 3 kenarların orta noktaları, A , B , C
2 2 2
ve köşelerle diklik merkezini C 2 B 2 C 2 B 2 ve A, B, C köşelerinin H ile orta
birleştiren doğru parçalarının N N noktaları A , B , C olsun. Biz şunu
3 orta noktası aynı çember 3 3 3
B 1 B 1
üzerindedir.'' B 3 H C 3 B 3 H C 3 göstereceğiz: A A B C C A B B
1 2 3 2 1 3 2 1
B C B C çemberseldir.
İşte bu çember N merkezli A 2 A 1 A 2 A 1
Dokuz Nokta Çemberidir. IA B I=IB AI=IB CI=IA C I ve A A // B C olduğu için (yukarıdaki çözüm gereği) A A B C
1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2
çemberseldir. Benzer şekilde C ve B noktaları da A B C çemberi üzerindedir.
1 1 2 2 2
2- A ve B noktalarının orta nokta olmasıyla A B // CC diyebiliriz. Benzer biçimde A B // AB
2 3 2 3 1 3 3
olduğundan s(A B A )=90° bulunur. Bu sayede A A B A ün çemberselliği görülür.
2 3 3 1 2 3 3
3- C noktası da |A A | çaplı çember üzerindedir; çünkü C A // AC ve BH // C A tür. Aynı tek-
2 2 3 2 2 2 3
Eşkenar üçgende iç nikle B noktasının da |A A | çaplı çember üzerinde olduğu söylenebilir. Bu uğraşının sonunda
teğet çembere dönüşen 2 2 3
9 nokta çemberi; üçge- |A A | çaplı çemberin, 9 nokta çemberi olduğu görülmüş olur.
2 3
nin iç teğet çemberine
içten, dış teğet çember-
lerine dıştan teğettir. Bir
üçgenin dokuz nokta A
çemberi ile iç teğet
çemberinin teğet oldu-
ğu noktaya F A
Feuerbach(1800-1834)
Noktası denir.
B C
B C
231