Page 253 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru:
ABCDE düzgün beşgeninde [AC] ve [BE] köşegenlerinin kesim noktası P,
[DP] nin çokgeni kestiği nokta K ise oranı kaça eşittir?
Çözüm:
D D 1- Düzgün beşgenin bir kenarı 2a ola-
2a rak alınırsa
E C E C
72°
P P 2a 4a.cos36°
72° 36° Q
A K B A a K a B 4a.cos36°
2- AQC üçgenine [DK] kesenine göre Menelaus teoremi uygulayalım.

Soru ( 1963 PUTNAM ):
Bir düzgün onikigenin içerisine 1 düzgün altıgen, 6 kare ve 6 eşkenar üçgen yerleştiri-
lebilir, gösteriniz. Ayrıca Onikigenin köşeleri
köşegenlerinin bir noktada kesiştiğini kanıtlayınız.

Çözüm:
A A
5 5
A 4 A 6 A 4 A 6
A A 7 A A 7
3 3
60°
120°
A A A A
2 8 2 8
30°
2
d
P
A A A 45° 1 A
1 9 1 30° 9
H
1
A A A A
12 10 12 10
A A
11 11
1- Bir iç açısı 150° olan 12-genin kenarlarında 6 kare ve 6 eşkenar üçgen oluşturduğumuz vakit,
şeklin ortasında bir iç açısı 120° olan düzgün altıgen meydana gelir.(niçin?)
2- 'Eşit sayıda kenar ayıran köşegenler eştir.' prensibiyle |A A |=|A A | yazılabilir. 12-genin bir
1 9 12 4
kenarını gören çevre açı 15° dir. Bu yüzden A A ( A A olur; bu köşegenler P noktasında
1 9 12 4
kesişsin. [A A ] köşegeninin de bu P noktasından geçeceğini göstermek istiyoruz.
2 11
3- Şekildeki gibi IPHI=1 br dersek, çokgenin bir kenarı 2 br olur. A A // A A olduğunu biliyoruz.
12 1 11 2
Bu iki paralel doğru arasındaki uzaklık, IPHI uzunluğu gibi, 1 br dir. Demek oluyor ki [A A ],
1 9
[A A ], [A A ] köşegenleri P noktasında kesişmektedir.
12 4
2 11
252