Page 254 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

ÇOKGENLER - II

Soru ( 1968 SOVYETLER BİRLİĞİ ):
Açıları eşit bir sekizgenin, kenar uzunlukları tamsayı olduğunda, karşılıklı kenar uzun-
luklarının eşit olacağını ispat ediniz.
Çözüm:
1- Açılar eşit verildiği için dış açılar 45° dir.
h
2 Kenarlar uzatılınca şekildeki gibi bir dik-
h h dörtgen oluşur. Dikdörtgenin karşılıklı
g g
a a kenarları eşittir. Bu taktirde
b
f 2 45° f
b b
f
2
45°
e e
c c durumları ortaya çıkar.
d d
d
2
2- Bu iki durumdan ikincisi olamaz. (Çünkü kenar uzunluklarının tamsayı olma koşuluyla
(b+h-d-f) ve (a-b) ifadeleri birer tamsayıdır. Ancak ñ2 irrasyoneldir. Eşitliğin sağ tarafı rasyonel
sol tarafı irrasyonel olabilir mi?) Dolayısıyla a=e olması gerekir. Aynı yoldan gidilerek ispat
tamamlanır.

Soru ( 1982 İMO ) :
ABCDEF düzgün altıgeninin [AC] ve [CE] köşegenleri üzerindeki M ve N noktaları
olacak şekilde alınıyor.

B, M ve N noktaları doğrusal olduğuna göre r kaçtır?
Çözüm:
B C B C 1- BE∩AC ={P} olsun. Menelaus teoremiyle
(1-r)
M 60° M
P r
30° 1
A D A 2 D 2- ICAI=ICEI=1 alınca, problemde verilen
N N
şart ile IMAI=INCI=r ve ICMI=IENI=(1-r)
(1-r)
olur.
F E F E

253