Page 260 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 260

5. BÖLÜM                                                                   ÇOKGENLER - II


                                   Soru:
                                  Köşegenleri O noktasında dik kesişen ABCD dörtgeninde,
                                                2
                                        2
                                                                 2
                                                         2
                                  A(AOB) +A(COD) =A(AOD) +A(BOC) eşitliğinin yazılabilmesi için O noktasının,
                                  köşegenlerden birinin orta noktası olması gerekir. Kanıtlayınız.
                                  Çözüm:
                                  D                  D
                                                               C
                                               C

                                                           O
                                         O
                                  A           B       A          B
                                  1- Problemde verilen eşitlik




                                    şeklinde yazılarak düzenlenirse
                                    Bu ise zaten IAOI=ICOI veya IBOI=IDOI demektir.
                    G
                     O







                                   Soru ( 1991 MEKSİKA ):
              Bir dörtgenin kenarları-  ABCD konveks dörtgeninde, [AC] ve [BD] köşegenleri birbirine diktir. [AB], [BC], [CD],
              nın orta noktalarından  [DA] kenarlarının orta noktaları sırasıyla M, N, R, S ve  M, N, R, S noktalarından [CD],
              karşı kenara indirilen  [DA], [AB], [BC] kenarlarına çizilen yükseklik ayakları sırasıyla W, X, Y, Z dir. Bu durum-
              dikmelere maltitüd
              denmektedir. Şayet  da M, N, R, S, W, X, Y, Z noktalarının aynı çember üzerinde olacağını gösteriniz.
              dörtgen bir dairesel
              dörtgen ise, maltitüdler
              bir noktada kesişir,  Çözüm:
              kesişme noktasının
                                         A                   A            1-  M, N ve R noktaları orta nokta ise
              yeri enteresandır; O            Y  M               Y  M        [MN] // [AC] ve [NR] // [BD] dir.
              noktasının G ye göre      X            B      X            B
              simetriğidir.                                                  Ayrıca köşegenler dik kesiştiği için
                                                                             s(MNR)=90° dir. Bu açıdan
                                     S                   S                   s(NRS)=s(RSM)=s(SMN)=90° olaca-
                                                    N                   N
                                                    Z                  Z     ğı için MNRS bir dikdörtgen ve [MR]
                                                                             ile [SN] de bu dikdörtgenin çevrel
                                                                             çemberinin birer çapıdır.
                                  D       R     W  C D       R     W   C
                                  2-  Problemde s(MWR)=90° olarak belirtildiği için, W noktasının [MR] çaplı çember üzerinde oldu-
                                    ğunu anlarız. Benzer biçimde X,Y, Z noktaları da aynı çember üzerinde bulunur. Başka bir söy-
                                    lemle, bu sekiz nokta çemberseldir.



                                                                                                    259
   255   256   257   258   259   260   261   262   263   264   265