Page 260 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

5. BÖLÜM ÇOKGENLER - II

Soru:
Köşegenleri O noktasında dik kesişen ABCD dörtgeninde,
2
2
2
2
A(AOB) +A(COD) =A(AOD) +A(BOC) eşitliğinin yazılabilmesi için O noktasının,
köşegenlerden birinin orta noktası olması gerekir. Kanıtlayınız.
Çözüm:
D D
C
C

O
O
A B A B
1- Problemde verilen eşitlik

şeklinde yazılarak düzenlenirse
Bu ise zaten IAOI=ICOI veya IBOI=IDOI demektir.
G
O

Soru ( 1991 MEKSİKA ):
Bir dörtgenin kenarları- ABCD konveks dörtgeninde, [AC] ve [BD] köşegenleri birbirine diktir. [AB], [BC], [CD],
nın orta noktalarından [DA] kenarlarının orta noktaları sırasıyla M, N, R, S ve M, N, R, S noktalarından [CD],
karşı kenara indirilen [DA], [AB], [BC] kenarlarına çizilen yükseklik ayakları sırasıyla W, X, Y, Z dir. Bu durum-
dikmelere maltitüd
denmektedir. Şayet da M, N, R, S, W, X, Y, Z noktalarının aynı çember üzerinde olacağını gösteriniz.
dörtgen bir dairesel
dörtgen ise, maltitüdler
bir noktada kesişir, Çözüm:
kesişme noktasının
A A 1- M, N ve R noktaları orta nokta ise
yeri enteresandır; O Y M Y M [MN] // [AC] ve [NR] // [BD] dir.
noktasının G ye göre X B X B
simetriğidir. Ayrıca köşegenler dik kesiştiği için
s(MNR)=90° dir. Bu açıdan
S S s(NRS)=s(RSM)=s(SMN)=90° olaca-
N N
Z Z ğı için MNRS bir dikdörtgen ve [MR]
ile [SN] de bu dikdörtgenin çevrel
çemberinin birer çapıdır.
D R W C D R W C
2- Problemde s(MWR)=90° olarak belirtildiği için, W noktasının [MR] çaplı çember üzerinde oldu-
ğunu anlarız. Benzer biçimde X,Y, Z noktaları da aynı çember üzerinde bulunur. Başka bir söy-
lemle, bu sekiz nokta çemberseldir.

259