Page 279 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 279

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ


                                   Soru ( 2009 TÜRKİYE ):
                                  AB // CD ve s(CAB)<90° olan ABCD yamuğunda, IABI=5, ICDI=3 ve IACI=15 ise,
                                  IBDI nin alabileceği farklı tamsayı değerlerinin toplamı nedir?

                                  Çözüm:
                                  E   3   A     5  B   E   3   A     5  B 1-  CA // DE alınca, DEB üçgeninde
                                    dar açı                                  üçgen eşitsizliğinden, 7<IBDI<23 olur.
                                             15
                                    15
                                                                          2- s(CAB)<90° verildiğinden
                                                      15      15
                                         D    3  C                           s(DEB)<90° ve 8-15-17 üçgeninden
                                                                             IBDI<17 dir.
                                                      D    3   C
                                  Sonuç olarak 7<IBDI<17 ve bu aralıktaki tamsayı değerler toplamı 8+9+10+...+16=108 bulunur.

                                   Soru ( 2005 TÜRKİYE ):
                                  AD // BC olmak üzere ABCD ikizkenar yamuğunun köşegen uzunluğu ñ3 ve taban açısı
                                  60° olsun. Bu yamukla aynı düzlemde bulunan bir P noktası, IPAI=1 ve IPDI=3 koşulla-
                                  rını sağlıyorsa, IPCI ne olabilir?
                                  Çözüm:
                                                                    B        C      1- ABCD ikizkenar
                                            B    C
                                   P                                                   yamuğunun çevrel
                                                 3                            3        çemberinin merkezi O
                                                                           1  2
                                    1                                                  olsun.
                                       60°               P        60°             D
                                     A                 D     1  A    1   O  1  H  1    s(BOD)=120° olacağı
                                                  1
                                          1   O 120°                       2   2       için IBOI=IODI=1
                                                                                       bulunur. Kirişin çaptan
                                                                                       küçük olduğunu biliyo-
                                                                                       ruz, yani IADI<2 dir.
                                    Problemde IPDI=3 olarak verilmesi, IPAI+IADI>IPDI olma şartını zorlar. Dolayısıyla şekli oluş-
                                    tururken sol tarafta gördüğümüz çizimden geri adım atıp; P, A ve D noktalarını doğrusal ala-
                                    rak, sağdaki çizime geçmemiz gerekir.
                                  2-  Sağdaki şekilde, Pisagor ilişkisine göre
                                    Bu ise E seçeneğinde verilmiştir.




                                   Soru ( 1999 Centromerican ):
                                  [AB] // [CD] olan ABCD yamuğunda [AD] nin orta noktası M olmak üzere, s(MCB)=150°,
                                  IBCI=x ve IMCI=y ise, ABCD yamuğunun alanının x ve y ile ifadesi nasıldır?
                                  Çözüm:
                                  A                   B N     A                   B 1-  CM uzantısı AB yi N
                                                                                      noktasında kestiğinde,
                                                            y
                                                                                      CDM ≅ NAM ve
                                   M              x            M              x       A(CDM)=A(NAM) olur.
                                          y                          y
                                             150°                        150°
                                       D      C                   D       C
                                    A(ABCD)=A(CDM)+A(MABC)=A(CNB) dir.

          278
   274   275   276   277   278   279   280   281   282   283   284