Page 284 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

ÇOKGENLER - II

Soru:
Dar açısı B köşesinde olan, ABCD paralelkenarının köşegen uzunlukları e ve f dir.
1
4 Buna göre olduğunu ispatlayınız.

Çözüm:
D C D C 1- Kosinüs teoreminden
2
12 e b f
b
A a B A a B

Bu eşitliklerle
1
2
Şu halde

1
4 Soru ( 1983 İMO Shortlist ):
IABI≠IACI olan ABC üçgeninde, C nin karşısında dış tarafta IPAI=IPBI olacak şekilde bir
P noktası, B nin karşısında dış tarafta IQAI=IQCI ve s(Q)=s(P) olacak şekilde bir Q nok-
tası alınıyor.
1 BC nin üst kısmında (A tarafında) IRBI=IRCI ve s(R)=s(P) olacak şekilde R nokta-
5 sı işaretlenirse, APRQ dörtgeni bir paralelkenar belirtir. Gösteriniz.

Çözüm:
Alanı 1 br 2 olan yukarıdaki A Q A Q 1- APRQ dörtgeninin karşılık-
paralelkenarlarda, taralı ola- lı kenarlarının eşit olduğu-
rak belirtilen alanları farklı P R P R nu göstereceğiz.
şekillerde bulabiliriz. Örneğin BRC ve BPA ikizkenar
son şekli inceleyecek olursak; c a
2cos 2cos üçgenlerinin tepe açıları

eşit verildiği için taban açı-
B C B a H a C ları da eşit olur.
D C
2 2
A'
B'
D' s(RBC)=s(PBA)=α alınınca olacağı açıktır.
C'
K
A
B
aaa L 2- Şimdi kosinüs teoremini uyguluyoruz;
aaaaaaaa aaa
aaaaaaaa
D aaa B' A' C aaa
aaaaaaaa
A aaaaaaaa C' D' B K
L
A(CB'D) =A(BLA) ve
A(AC'D) =A(BKC) ile
A(ABCD)=A(ALBKCB'C')
2
=1 br =5 A(A'B'C'D').
Öte yandan IORI=IAPI olacağı için, APRQ dörtgeninin bir paralelkenar olduğunu söyleyebiliriz.
283