Page 280 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 280

ÇOKGENLER - II


                                   Soru ( 2001 TÜRKİYE ) :
                                  En büyük kenar uzunluğu 13 ve çevre uzunluğu 28 olan bir ikizkenar yamuğun
                                  alanı en çok kaç olabilir?
                                  Çözüm:
                                        D 15-2x  C         D 15-2x  C   1-  IABI=13 ve IADI=x olsun. Bu durumda
                                                                           IDCI=15-2x ve IAHI=IBKI=x-1 olur.
                                                                           DAH dik üçgeninde
                                                               −
                                     x           x      x    2x 1   x
                                  A       13        B A  x-1  H 15-2x K  x-1  B
                                  2-  Alanı x e bağlı bir fonksiyon biçiminde tanımlarsak
                                    Alanın maksimum olması için A(x) fonksiyonunun I.türevini alıp, sıfıra eşitleyelim.




                                   Soru:
          D                    C
                                  [AB] // [CD] olan ABCD yamuğunda; AC ve BD doğruları K noktasında, AD ve BC doğ-
                                  ruları L noktasında kesişiyor. KL doğrusu AB doğrusunu N noktasında, CN ve DN doğ-
                   K
                                  ruları sırasıyla AD ve BC doğrularını P ve Q noktalarında kesiyor.
                                  Bu durumda; [PQ] // [AB] ve A(DNP)=A(DQB) olduğunu gösteriniz.
               A    N  B
                P     Q
                                  Çözüm:
                   L
                                     D                   C    1- Menelaus teoreminden

                                              K
                                                                 Bu eşitlikler birbirine eşitlenirse
                                          A   N   B
                                           P    Q                ve bu sayede PQ // AB bulunur.
                                             L
                                  2-  ANCD yamuğunda A(CAN)=A(DAN) olduğu açıktır. A(APN) ortak olduğundan,
                                    A(DNP)=A(CAP) denilebilir. Bu pencereden, PQCD yamuğunda A(CLP)=A(DLQ) ve ABCD
                                    yamuğunda A(CLA)=A(DLB) olduğu görülür.
                                    Dolayısıyla A(DNP)=A(CAP)=A(CLA)-A(CLP)=A(DLB)-A(DLQ)=A(DQB) bulunur.
             D                C    Soru:
                                  ABCD paralelkenarında [AB] kenarına paralel bir doğru, [AD] ve [BC] kenarlarını sıra-
                                  sıyla E ve F noktalarında kesiyor. G noktası [AF] üzerinde herhangi bir nokta olmak
                    L
            E                F
                                  üzere; CG ve AB doğruları K noktasında, DG ve EF doğruları L noktasında kesişiyor.
                     G            Bu durumda [KL] // [BC] dir, ispatlayınız.
           A       K        B
                                  Çözüm:                       1- Menelaus teoreminden
                                    D                C


                                            L
                                   E                F
                                                                  Bu ise ispat için yeterlidir.
                                             G
                                   A               B
                                          K                                                         279
   275   276   277   278   279   280   281   282   283   284   285