Page 286 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

ÇOKGENLER - II

Soru:
ABCD parelelkenarında, [AB] ve [CD] kenarların orta noktaları P ve Q ise, [DP] // [BQ]
olduğunu göstererek bu doğruların [AC] köşegenini üç eş parçaya böldüğünü
ispat ediniz.
Çözüm:
D Q C D Q C 1- [DB] köşegenini çizersek, köşegen-
ler birbirini ortaladığı için, IDOI=IOBI
L
O olur. Şekildeki K ve L noktaları sıra-
sıyla ABD ve BDC üçgeninin ağırlık
K
merkezidir. Bu yüzden
A P B A P B
IAKI=2IOKI=2IOLI=ILCI dir.
2- Üstelik, ALB üçgeninde P ve K orta nokta iken [KP] // [LB] dir.
Soru ( 1996 MEKSİKA ):
ABCD dörtgeninde [BD] köşegeni üzerinde IBPI=IPQI=IQDI olacak şekilde P, Q, D nok-
taları alınıyor. AP ve BC doğruları E noktasında; AQ ve CD doğruları F noktasında kesi-
şiyor. ABCD dörtgeninin paralelkenar olması için gerek ve yeter koşul, E ve F nok-
talarının orta nokta olmasıdır. Kanıtlayınız.

Çözüm:
B 1- Öncelikle ABCD paralelkenarın-
A A B
P da IBPI=IPQI=IQDI olduğunda,
P E ve F noktalarının orta nokta
Q E E olacağını gösterelim. Köşegen-
Q O lerin kesim noktası O olsun.
R
D C D C
F F
Köşegenler birbirini ortaladığı için IAOI=IOCI ve IBPI=2IPOI olur ki bunlar, P noktasının ABC
üçgeninin ağırlık merkezi olduğunu gösterir. Dolayısıyla E noktası, orta nokta olmalıdır. Aynı
düşünce ile F noktasının da orta nokta olacağı anlaşılır.
2- Karşıt durumda, E ve F orta nokta iken ABCD nin paralelkenar olup-olmayacağına bakalım.
Şu halde [EF] // [BD] ve IEFI=3x iken IBDI=2IEFI=6x olur. IBDI=3IQPI verildiğinden IPQI=2x tir.
2IEFI=3IPQI olduğuna göre, AEF üçgeninin ağırlık merkezi [PQ] üzerinde bir yerdedir, bu mer-
keze O diyelim.
[EF] nin orta noktası R ise ([AR] kenarortay ise) A, O, R noktaları doğrusaldır. Diğer taraftan,
bize IBPI=IPQI=IQDI verildiğinden, O noktası [BD] nin de orta noktasıdır. Böylece [CO] kenar-
ortay ve C, R, O noktaları da doğrusal olur. Dolayısıyla IAOI=2IORI=2IRCI den O noktası [AC]
köşegeninin orta noktası olur. Bu ise çözümü tamamlar.

Soru:
C
B ABCD paralelkenarının dört köşesinden çizilen paraleller, paralelkenarı kesmeyen bir d
O doğrusunu A', B', C' ve D' noktalarında kesiyorsa IAA'I+ICC'I=IBB'I+IDD'I olduğunu
D
kanıtlayınız.
D' A O' C' B'
Çözüm:
C 1- Köşegenlerin kesim noktası O olmak üzere, bu
B doğrulara paralel olan OO' doğrusunu çizelim.
O Şu halde [OO'] orta taban olur ve
D IDD'I+IBB'I=2IOO'I=IAA'I+ICC'I bulunur.

A
d
D' A' O' C' B'
285