Page 289 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI
P. 289
100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ
Soru ( 1915 EÖTVÖS ):
Bir paralelkenar içerisindeki bir üçgenin alanının, en çok paralelkenarın alanının
yarısına eşit olabileceğini ispat ediniz.
Çözüm:
a A 1- Paralelkenarın bir kenarı a ve bu tabana ait yüksek-
liği h olsun. Üçgenin [BC] tabanına ait yüksekliğine
h diyelim. Burada iki durum söz konusudur:
A a
h 1. Durumda (tabanlar aynı doğru üzerinde ise)
IBCI≤a ve h ≤ h olacağı için, ispat açıktır.
B D a
h a
2. Durumda (tabanlar aynı doğru üzerinde değilse)
B C C
B noktasından paralelkenarın tabanına bir paralel doğru çekelim: 1.durum gereği, ABD ve BCD
üçgenlerinin alanları, bulundukları paralelkenarların alanlarının yarısını geçemez. O halde top-
lamları da büyük paralelkenarın alanının yarısını geçemez.
5.4.3 Eşkenar Dörtgen
Eşkenar dörtgende, köşegen- Soru:
lerin kesim noktası simetri ABCD eşkenar dörtgeninde köşegen uzunlukları e ve f ise e +f =4a dir. Bunu nasıl
2
2
2
merkezidir.
ispatlarız?
D a C
Çözüm:
O a 1- AOD dik üçgeninde
a D a C
f
2 O olduğu kolayca görülür.
A a B a f a
e 2
2
A a B
Soru ( 1906 EÖTVÖS ):
Bir eşkenar dörtgenin kenarlarının dış tarafına kurulan dört karenin merkezi yine
bir kare oluşturur. Gösteriniz.
ABCD paralelkenarının e ve f Çözüm:
köşegenleri için
1- O, S, P, Q, R noktaları merkez olsun.
R R Önce P-O-R noktalarının doğrusal oldu-
ğunu gösterelim. Bu kompozisyonda,
S D C S D C s(ASD)=s(DOA)=90° olduğu açıktır.
45°
O Dolayısıyla AODS bir kirişler dörtgeni ve
45°
s(AOS)=s(ADS)=45° olur. Aynı düşünce
A B Q A B
Bu eşitlikte a=b=c=d yazılırsa Q ile s(POA)=s(SOD)=s(DOR)=45° dir.
Buradan P-O-R noktalarının doğrusal
2
2
2
e +f =4a bağıntısı elde edilir. P P olduğunu anlarız.
2- (KAK) eşlik prensibiyle SDO ≅ RDO ⇒ IOSI=IORI olur. Devamında da PQRS dörtgeninin hoş
bir kare olduğu görülür.
* 1937 yılında Victor Thebault, bu problemdeki eşkenar dörtgen yerine paralelkenar alarak
Thebault Teoremi’ ni ifade ve ispat etmiştir. Peki yukarıdaki şekilde; kareler dışarıya
doğru değil de içeriye doğru çizilse idi, merkezler yine bir kare oluşturur muydu?
288
