Page 290 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

5. BÖLÜM ÇOKGENLER - II

Soru ( 2003 AİME ):
ABCD eşkenar dörtgeninde, ABD ve ACD üçgenlerinin çevrel çemberlerinin yarıçapları
12,5 ve 25 ise, A(ABCD) nedir?
Çözüm:
1- ADC geniş açılı ikizkenar
üçgeninin çevrel çemberinin
O' O' merkezi O' olsun. 'Çevrel
çemberin merkezi, kenar orta
A B A B dikmesi üzerindedir.' kaidesiy-
25 O
12.5 O le O' noktasının DB doğrusu
10 5
üzerinde olduğunu anlarız.

10 5
C C
D D
Aynı şekilde, ABD dar açılı üçgeninin çevrel çemberinin merkezi (yani O noktası) [AC] köşege-
ni üzerinde bulunur.
2- Şekli eksiksiz bir biçimde oluşturduktan sonra, s(DAC)=α ve s(ADB)=β alınırsa
Şimdi IAO'I=2IAOI verisini dikkate alırsak |AD|=4|AO|.sinα olur.

Soru ( 2003 BREZİLYA ):
Köşegenleri dik kesişen ABCD paralelkenarının içteğet çemberi çiziliyor. [EF] ve [GH]
çembere teğet olacak şekilde [AB], [BC], [CD], [DA] kenarları üzerinde sırasıyla E, F, G,
H noktaları alıyor. Bu durumda [EH] // [FG] olacağını ispat ediniz.
Çözüm:
A E B A K E B
2-2
H H L
O O 180°
F F
D G C D G C
1- Köşegenler dik kesişiyorsa ABCD eşkenar dörtgendir. Şekildeki gibi, O noktasından OK ⊥ AB
çizip s(AOE)=α ve s(B)=2β denirse s(AOK)=β ve s(KOE)=α−β olur.
2- [EF] nin çembere değme noktası L ise s(EOL)=s(KOE)=α−β dır. OKEL kirişler dörtgeni oldu-
ğundan s(BEF)=s(KOL)=2α-2β dır. BEF üçgeninden s(BFE)=180°-2α, s(CFE)=2α ve
s(CFO)=α olur.
3- Üstelik ABCD eşkenar dörtgeninde s(EAO)=s(OCF) olduğu için AOE ≈ CFO benzerliğine ula-
şılır. Buradan

289