Page 294 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

5. BÖLÜM ÇOKGENLER - II

Soru ( 1989 MEKSİKA ):
Yarıçapları 1 olan C ve C çemberleriyle, yarıçapı 2 olan C çemberi birbirine teğettir. C
1 2 3
çemberi ise C çemberi içindedir ve C, C ve C çemberlerine teğettir. C çemberi de C
1 2 4
çemberi içindedir ve C, C ve C çemberlerine teğettir. Bu durumda C, C , C ve C
1 3 1 3 4
çemberlerinin merkezlerinin dikdörtgen oluşturacağını gösteriniz.
Çözüm:
1- C, C , C , C ve C 4 çember-
2
3
1
3 r
C 3 R P C 3 lerinin merkezleri sırasıyla; O,
C C 4 r 3 r A, B, P, R olsun. C ve C 4
3
4 4
çemberlerinin yarıçapları sıra-
1 1 2r
−
sıyla r ve r olarak alınırsa
3
3 4
A 1 O B
C 1 C 2 C 1 C 2
C C

IARI=IOPI ve IOAI=IPRI sağlandığı için AOPR bir dikdörtgendir.

Soru ( 1991 SOVYETLER BİRLİĞİ ):
ABCD dikdörtgeninin [AB], [BC], [CD] ve [DA] kenarları üzerinde sırasıyla K, L, M ve N
noktaları alınıyor. [KL] // [MN] ve [KM] ⊥ [LN] ise; [KM] ve [LN] doğru parçalarının
kesim noktasının, [BD] üzerinde olduğunu gösteriniz.

Çözüm:
B L C B L C 1- [KM] ve [LN] doğru parçalarının
kesim noktası O olsun. B-O-D
noktalarının doğrusal olduğunu
K K
göstereceğiz.
O M O M
A N D A N D
Öncelikle görüyoruz ki s(NOM)=s(NDM)=90° olduğu için ONDM kirişler dörtgeni ve
s(NOD)=s(NMD) dir.
Aynı düşünce ile OLBK kirişler dörtgeni ve s(LOB)=s(LKB) olur.
2- [KL] // [MN] verildiği için s(LKB)=s(NMD) dir. Dolayısıyla B-O-D noktaları doğrusaldır.

293