Page 292 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

5. BÖLÜM ÇOKGENLER - II

5.4.4 Dikdörtgen

Soru:
D a C Dikdörtgenin içinde (veya dışında) alınan bir nokta, dikdörtgenin köşeleriyle birleştirildi-
ğinde, karşılıklı köşeleri birleştiren uzunlukların kareleri toplamı eşit olur.
b b Kanıtlayınız.
A a B
Çözüm:
D a C D Y C 1- Pisagor teoreminden
Z T
P
P b b P
D C
A a B A X B
b b

A a B

Eni ile boyunun oranı altın
oran olan dikdörtgen, Altın
Dikdörtgen diye bilinir. Bu
altın dikdörtgen, bir kare ile Soru ( 1992 MEKSİKA ):
kenarları yine altın orana
sahip bir dikdörtgene bölüne- ABCD dikdörtgeninde, I noktası [CD] nin orta noktasıdır. Buna göre, BI ile AC doğruları
bilir. Bu bölmeler sonsuza dek M noktasında kesiştiğinde DM doğrusunun [BC] kenarının orta noktasından geçeceğini
devam edebilir. Bu köşelere gösteriniz. Ayrıca IAEI=IBEI, IBEI=IBCI=x ve s(AEB)=90° olacak şekilde dikdörtgenin
dayanarak ''eşit açılı bir spiral'' dışında bir E noktası alındığında; EM doğrusunun, AMB açısının açıortayı olacağını
(logaritmik spiral) çizilebilir.
gösteriniz. AEBM dörtgeninin alanını da x cinsinden bulunuz.
Çözüm:
E E 1- ABCD dikdörtgeninde [BD] köşegeninin orta
+
ab = a = ϕ = 161803 noktası O olsun. BCD üçgeninde, [BI] ve
,
a b x x [CO] kenarortay ise [DM] kenarortayının
[BC] nin orta noktasından geçeceği açıktır.
A B A 45° 45° B
45°
O O x
M M
D C ABC üçgeninde pisagor teoreminden
D I C D x I x C
2 2

B A B
BCI üçgeninde pisagor teoreminden
M ağırlık merkezi olduğu için
2
2
2
BCM üçgeninde |BC| =|BM| +|CM| olması s(BMC)=90° olmasını gerektirir. Şu halde E ve M noktaları [AB] çaplı
çembere aittir. Nitekim s(EAB)=s(EBA)=s(EMA)=s(EMB)=45° den EM doğrusunun açıortay olduğu anlaşılır.
3- Son olarak

291