Page 296 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

5. BÖLÜM ÇOKGENLER - II

Soru ( 1991 AİME ):
ABCD dikdörtgeninin [AB], [BC], [CD] ve [DA] kenarları üzerinde sırasıyla P, Q, R ve S
noktaları IPQI=IQRI=IRSI=ISPI olacak şekilde alınıyor. IPBI=15, IBQI=20, IPRI=30 ve
IQSI=40 ise Ç(ABCD) nedir?

Çözüm:
A P 15 B A P 15 B 1- PQRS eşkenarında, köşegenlerinin

25 birbirini dik kestiğini ve birbirini orta-
15 15 25 ladığını biliyoruz. Bu durumda
S 20 20 S 20 20 IPOI=IORI=15, ISOI=IOQI=20 ve
20 20
O s(POQ)=90° dir.
Q Q
15 15 Kolayca PBQ ≅ POQ görülebilir.
D R C D R C
2- s(BPQ)=α alınırsa s(QPO)=s(OPS)=α ve s(SPA)=180°-3α olur.
cos(SPA)=-cos3α olduğu için

2
2
2
3- 125 -117 =44 olduğu dikkate alınırsa

Soru ( 2002 BALKAN ):
Eş olmayan iki çember A ve B noktalarında kesişiyor. Bu çemberlerin ortak teğetleri, biri-
ne P, Q ve diğerine R, S noktalarında teğettir. Buna göre APQ, BPQ, ARS, BRS üçgen-
lerinin diklik merkezlerinin bir dikdörtgen belirteceğini gösteriniz.

Çözüm:
P P

A R A R
H
H'
d
T'
B S B S T
Q Q
1- Merkezleri taşıyan doğruya d diyelim. Görüldüğü üzere, APQ üçgeninin d doğrusuna göre
simetriği BQP üçgeni iken, ARS üçgeninin d doğrusuna göre simetriği BSR üçgenidir.
2- APQ, BPQ, ARS, BRS üçgenlerinin diklik merkezleri sırasıyla H, T, H', T' olsun. H noktasının d
doğrusuna göre simetriği T ve H' noktasının d doğrusuna göre simetriği T' noktasıdır.
Dolayısıyla [HT] ⊥ d ve [H'T'] ⊥ d olur.
3- Diğer taraftan [HH'] // d dir. Tüm bunlarla HH'T'T dörtgeninin bir dikdörtgen olduğu görülür.

295