Page 315 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

X Soru:
E
Z ABC üçgeninin [AB] ve [AC] kenarları üzerine ABYX ve ACTZ kareleri kuruluyor.
A
s(EDC)=90° ise IBCI=2IEAI dır. Gösteriniz.
Y
Çözüm:
T
1- ABC üçgeninin kenar uzunluklarını 2a, 2b, 2c alıp
X y H
B D C
a-2x ABD ≅ XAH ve ADC ≅ ZPA eşliklerini oluşturalım.
a-2x E y Z Şu halde IDCI=2x iken IPAI=2x ve IHAI=IBDI=2a-2x dir.
2c P
2x 2- XEH ≅ ZEP ile IEPI=IEHI=a-2x olur.
A 2b
Y Dolayısıyla IBCI=2a=2.IEAI eşitliğine varılır.
2c 2b
y
T

B 2a-2x D 2x C
Soru:
Bir köşesi ortak olan M ve N merkezli ABYX ve ACTZ kareleri inşa ediliyor. AD kenaror-
tay doğrusunun, [XZ] doğru parçasını dik açı ile kestiğini kanıtlayınız.

Çözüm:
X' 1- XAZ üçgeni 90° dön-
X X dürülüp, X'AC üçgeni
E E
Z Z oluşturulursa, B-A-X'
doğrusal olur. X'BC
M A M A üçgeninde A ve D nok-
Y Y
N N talarının orta nokta
olması, [AD] // [X'C]
T T
olmasını gerektirir.
B D C B D C
2- Bu döndürme hareketi sırasında, XAZ üçgeni 90° dönünce, [XZ] de 90° dönerek [X'C] konumu-
na gelmektedir, yani X'C ⊥ XZ olmaktadır. Madem X'C ⊥ XZ dir, o halde AD ⊥ XZ dir.

Soru:
ABC üçgeninin [AC] ve [CB] kenarları üzerine ACYX ve BCTZ kareleri eklendiğin-
de; AT, BY ve XZ doğrularının bir noktada kesişeceğini gösteriniz.
Çözüm:
T 1- s(C)=90° olması
Y
Y halinde C noktasın-
da kesişmenin ger-
T
C Z çekleşeceği açıktır.
C
X
X
45° 45° 45°
45° 45° 45°
C'
A B Z
A B
2- s(C)≠90° olsun. Bu halde ACYX ve BCTZ karelerinin çevrel çemberleri C' noktasında kesişsin.
Basit bir hesapla s(AC'X)=s(XC'Y)=s(YC'C)=s(TC'C)=s(TC'Z)=s(ZC'B)=45° olur ve iddianın
doğru olduğu görülür.
314