Page 319 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

5.4.8 Deltoid

Soru ( 2002 TÜRKİYE ):
D b
C
Bir ABCD eşkenar dörtgeninin [AD] kenarı üzerinde bir E noktası işaretleniyor. AB ve CE
a doğruları F de; BE ve DF doğruları G de kesişiyor. s(DAB)=60° ise, s(DGB) nedir?
b O
A a B Çözüm:
D C D 2x C
G G x
E E
x
60° 60°
F A B F 2x A 2x B
1- E noktasını, genelliği bozmadan, orta nokta olarak alırsak problemin koşullarıyla herhangi bir
çelişme oluşmaz. Dolayısıyla hızlı bir şekilde EAF ≅ EDC, IDAI=IABI=IAFI ve s(DGE)=60° bulu-
nur.

Soru ( 2002 TÜRKİYE ):
Bir ABCD eşkenar dörtgeninde s(ABC)=40°, [BC] nin orta noktası E ve A dan DE ye indi-
rilen dikmenin ayağı F ise, s(DFC) nedir?

Çözüm:
1- Köşegenlerin kesim noktası K
D C D C
olsun. Köşegenler dik kesiştiği
F F 70°
20° için AKFD kirişler dörtgeni olur,
E 70° E
K s(AFK)=s(ADK)=20° bulunur.
40°
A B A B
2- Şu halde s(ECK)=s(EFK)=70° olduğu için ECFK çemberseldir. Muhteşem üçlü ile IEKI=IECI
bilindiği için s(EFC)=s(EKC)=70° ve s(DFC)=110° bulunur.

Soru ( 2000 KANADA ) :
ABCD konveks dörtgeninde IABI=IBCI, s(CBD)=2.s(ADB) ve s(ABD)=2.s(CDB) ise
IADI=IDCI olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm:

A A 1- s(ADB)=α, s(CDB)=β ve köşegen-
lerin kesim noktası E olsun.
Şu halde s(ABD)=2β ve s(CBD)=2α
2 2
B D F D dır. Şimdi DB üzerinde öyle bir F
2 E B 2 E
noktası işaretleyelim ki BAFC mer-
kezil dörtgen olsun.
C C
Bu halde s(AFD)=s(CDF)=β ve s(CFD)= s(ADF)=α olacağı için AFCD nin paralelkenar olması
icap eder.
2- ''Paralekenarda köşegenler birbirini ortalar.'' kaidesiyle, E noktası [AC] köşegeninin orta
noktası olur. Böylece ABC ve sonrasında ADC üçgenleri ikizkenar olur. Dolayısıyla IADI=IDCI
eşitliği kanıtlanır.

318