Page 318 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

5. BÖLÜM ÇOKGENLER - II

A
Soru:
G ABC üçgeninin [AB] ve [AC] kenarları üzerine (içe doğru) ACDE ve ABFG kareleri kuru-
luyor. Buna göre,
E
a- |BE|=|CG| olduğunu gösteriniz.
B C b- EB, GC ve DF nin bir noktada kesiştiğini gösteriniz.
Çözüm:
F
D A 1- s(EAB)=s(CAG)=α denirse |EA|=|CA| ve |BA|=|GA|
olduğundan EAB ≅ CAG (KAK) dir. Bu eşlik sonucu
G |EB|=|CG| görülür.

E 2- EAB ≅ CAG (KAK) olduğundan s(AEB)=β ve s(ABE)=θ
alınırsa s(ACG)=β ve s(AGC)=θ olur.

B C EB ∩ GC = {K} dersek, α+β+θ=180° ve EAGK dörtge-
ninde iç açılar toplamı 360° olduğundan s(EKG)=90°
bulunur.
45°
45° F
K
D
3- s(EDC)=s(EKC)=90° olduğundan EDKC çemberseldir. Böylece s(EKD)=s(ECD)=45° olur. Aynı
şekilde GFKB çembersel ve s(GKF)=s(GBF)=45° olacağı için s(EKD)+s(EKG)+s(GKF)=180°
dir. Bu ise DKF nin doğrusal olması demektir. Yani EB ∩ GC ∩ DF = {K} dır.
Soru ( 1984 BREZİLYA ):
ABCD bir konveks dörtgen olmak üzere; [AB], [BC], [CD], [DA] kenarlarının dışına doğru
kurulan karelerin merkezleri E, F, G, H ise
IEGI=IEHI ve IEGI ⊥ IEHI olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
1- Çözüm için aşağıdaki Van Aubel teoremini inceleyiniz.

5.4.7 Van Aubel Teoremi - III

ABCD konveks dörtgeninin İspat:
kenarları sırasıyla P, R, S, T
1- [AC] köşegeninin orta
merkezli kareler ile donatılınca noktası X olsun. ABC
IPSI=IRTI ve PS ⊥ RT olur. üçgeninin, [AB] ve [BC]
P A T P A T
kenarları üzerine karele-
K K rin kurulması, zihnimizde
B B
D D Finsler-Hadwiger
Y
Teoremi' ni canlandırır.
X
R R Bu bakış açısıyla
s(PXR)=90° ve IPXI=IRXI
C C
S S olduğunu söyleyebiliriz.
Aynı açıdan bakınca
s(SXT)=90° ve ISXI=ITXI
olacağı da gözükür.
2- Şu anlatılarla PXS ≅ RXT ve IPSI=IRTI bulunur. Ayrıca s(SPX)=s(TRX) ve s(RYX)=s(PYK) eşit-
likleriyle PS ⊥ RT ispat edilmiş olur. (Burada şunu belirtelim; bu dörtgen rastgele bir dörtgen ola-
bilir, konveks olmasına gerek yok. Hatta kenarlarından birinin olmaması bile sonucu değiştirmez.)

317