Page 316 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

5. BÖLÜM ÇOKGENLER - II

5.4.6 Finsler-Hadwiger ( 1938 )Teoremi

A köşesi ortak, M ve N mer- İspat:
kezli ABYX ve ACTZ kareleri
göz önüne alındığında, [XZ] X X 1- BXZC dörtgeninin
ve [BC] nin orta noktaları sıra- E E kenarların orta nok-
Z Z
sıyla E ve D ise, EMDN bir talarıyla elde edilen
kare belirtir. A EMDN dörtgeninin
M A M
Y Y bir paralelkenar
N N
olduğu
T T aşikârdır.(Varignon
Paralelkenarı)
B D C B D C
2- BAZ ≅ XAC olduğundan IXCI=IBZI dir. Buna orta taban olgusu eklenirse,
2IDNI=IBZI=IXCI=2IMDI bulunur. Böylece EMDN nin bir eşkenar dörtgen olduğu anlaşılır.
3- Dahası XC ⊥ BZ dir. Dolayısıyla EMDN nin bir kare olduğu kesindir.
Soru:
Yandaki şekilde, bir köşesi ortak M ve N merkezli ABYX ve ACTZ kareleri veriliyor. [XZ]
ve [BC] nin orta noktaları sırasıyla E ve D dir. ICAI=2, IBAI=3 ve s(BAC)=30° ise,
A(EMDN) kaçtır?
Çözüm:
X X
E E
Z Z
A A
M M
Y 30° N Y
3 2 N
T T
B D C B D C
1- A(XBCZ)=A(XAB)+A(CAZ)+A(ABC)+A(XAZ) olduğu için

P Soru:
R
N 5 kare şekildeki gibi uc uca eklenirse A(PRG)=A(ABFG) olur. Gösteriniz.
S
G Çözüm:
A F M P 1- ABC dik üçgeninde IBCI=a ve IACI=b diyelim.
D R ABC≅BFK olduğundan IFKI=a ve IBKI=b olur.
N Benzer biçimde IGYI=a, IAYI=b, IXFI=a ve IGXI=b
E C B K L 2a
S 2b bulunur.
G 2- DGY ≅ RGZ, MGX ≅ PGT olduğu için IZGI=IYGI=a,
Z a b T
b IRZI=IDYI=2b, IGTI=IGXI=b ve IPTI=IMXI=2a olur.
X F
A M
D b b Y a a 3- A(PRG)=A(PRZT)-[A(RZG)+A(PTG)] den
b a
E C a B b K L

315