Page 322 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Geometrik bir izah: Soru ( 1994 İSVEÇ ):
'çap kirişten büyüktür.' ABC üçgeninde, B ve C köşelerinden çizilen kenarortaylar birbirine dik ise
ilkesiyle
olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm: 1- [BE] ve [CF] kenarortayları G noktasında
kesişsin. IBEI=3x ve ICFI=3y alalım.
A A
F F
y
B B 2x
x
G E G E
2y
2R=a+b
C C

Öte yandan bulunur.

2- Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden

* Bu soru 1993 yılında da KANADA' da sorulmuştur.
a b
Soru ( 2003 ÇİN ):
ABC üçgeninin [AB] ve [AC] kenarları üzerinde sırasıyla D ve E noktaları alınıyor.
F noktası [DE] üzerinde olmak üzere;
aşağıdaki bağıntıları kanıtlayınız.

A

D F E
Çözüm:
A 1- Öncelikle ilk ifadeyi kanıtlayalım.
B C
A(BDF)=zA(BDE)=z(1-x)A(ABE)=z(1-x)yA(ABC) ve
A(CEF)=(1-z)A(CDE)=(1-z)(1-y)A(ACD)=(1-z)(1-y)xA(ABC) dir.
2- Bu eşitlikler yardımıyla
D F E

B C
Şimdi, son eşitliğin sağ tarafındaki ilk ifadede A.O ≥ G.O eşitsizliğini uygulayalım.

321