Page 331 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru:
Bir doğruya ve birbirine dıştan teğet olan üç çemberin yarıçapları arasında bir
A bağıntı bulunuz.
a
T
b B
Çözüm:
c 1- Şekildeki gibi ortak dış teğet uzunluklarından faydalanarak
2ab bulabiliriz.
A
a
T
a-c a b B
b
b-c
K L
C c
2ac 2bc
Soru ( 1999 İSVEÇ ) :
Dıştan teğet olan O ve O' merkezli iki çember alınıyor. [AB] teğet parçasının, A ve B
teğet değme noktaları sırasıyla O ve O' merkezli çemberlerin üzerinde olması şartıyla,
[AB] teğet parçasının orta noktası P ise s(OPO')=90° dir. Gösteriniz.

Çözüm:
A P B B 1- Çemberlerin eş olma ve eş
P olmama durumlarını ayrı ayrı
A
45° 45° düşünelim. Önce çemberler eş
K 2 olsun. Bu halde s(OPO')=90°
O O' O T O'
olacağı kolayca görülür.
2- Şimdi çemberlerin eş olmadığını farz edelim. Şu halde AB ve OO' doğruları K gibi bir noktada
kesişir.
s(AKO)=2α alınırsa, s(KAO)=s(KBO')=90° ve s(KOA)=s(KO'B)=90°-2α olur.
3- OP ve O'P doğrularının açıortay olduğu fark edilirse s(POT)=45°+α ve s(PO'T)=45°-α olur.
Böylece s(OPO')=90° bulunur.

Soru ( 1933 EÖTVÖS ):
A ve B noktaları bir C çemberinin üzerindedir. P noktası ise bu çember ile ikinci çembe-
rin değme noktasıdır. AP ve BP doğruları ikinci çemberi sırasıyla A' ve B' noktala-
rında kestiğinde, ABP ≈ A'B'P olacağını gösteriniz.
Çözüm:
B' B 1- Bu çemberlerin merkezleri O ve O'
A B' olsun. s(OPA)=s(O'PA') olduğuna
göre OPA ve O'PA' ikizkenar üçgen-
O' O O' P leri benzerdir. Aynı şekilde OPB ve
O
P O'PB' üçgenleri de benzer olur. Bu
taktirde
B A'
A'
A

330