Page 332 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru ( 2005 ESTONYA ):
Kesişmeyen ve iç içe olmayan iki çember çiziliyor. Çemberlerin dışında alınan bir P nok-
tasından çizilen doğru, çemberlerin birini A ve A' noktalarında, diğerini B ve B' noktala-
rında kesiyor. P noktasından çizilen diğer bir doğru ise çemberleri C-C' ve D-D' noktala-
rında kesiyor. Buna göre, ABCD nin çembersel olması için gerek ve yeter şart,
A'B'C'D' dörtgeninin çembersel olmasıdır. Kanıtlayınız.
Çözüm:
A' A'
D' D'

A A
D D
O O
P B P B
C C
B' B'
C' C'
1- AA'C'C ve DBB'D' çembersel olduğundan, s(AA'C')=α ve s(CD'B')=β olarak alınırsa, s(ACD)=α
ve s(DBA)=β olur. Buradan 'ABCD çemberseldir ⇔ (α=β ⇔) A'B'C'D' çemberseldir' önermesi
gerçeklenir.

Soru ( 2003 BALKAN ):
ABC üçgeninin çevrel çemberine A noktasından çizilen teğet, BC doğrusunu D nokta-
sında kesmektedir. [BC] ye B noktasında dik olan doğru ile [AB] nin kenar orta dikmesi
E noktasında, [BC] ye C noktasında dik olan doğru ile [AC] nin kenar orta dikmesi F nok-
tasında kesişmektedir. Bu şartlar altında D, E, F noktalarının doğrusal olacağını
gösteriniz.

Çözüm:

F F

1- ABC üçgeninin iç
A A açıları sırasıyla α, β, θ
olsun. [AB] ve [AC]
L kenarlarının orta nokta-
K
E E 90°- larını K ve L olarak
O O
harflendirirsek
D B C D B C

2- Bu aşamada s(BAD)=θ, s(BDA)=β−θ ve s(CAD)=180°-β dır. Şimdi sinüs teoremiyle

3- Bu bize DBE ≈ DCF olduğunu gösterir. Benzerlik sonucunda s(BDE)=s(CDF) olur ki bu da
D, E, F noktalarının doğrusal olduğunu gösterir.

331