Page 339 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

8. Arşimet Bağıntısı

O merkezli R yarıçaplı çemberde; [AB] ve [CD] kirişleri P noktasında dik kesiştiğinde,
eşitliği ortaya çıkar.

İspat:
C C 1- [CE] çapı çizilince, s(CAP)=s(CEB) olacağın-
dan s(ACD)=s(ECB) olur. Bu sayede
A B A B
P P
O O
(Farklı çözüm için Brahmagupta
Teoremi’ne bakınız.)
D D E

9. Arşimet Bağıntısı

[AB] çaplı yarım çemberde, [CD] kirişi [AB] çapını E noktasında kesiyor. A ve B noktalarından
[CD] kirişine indirilen dikme ayakları sırasıyla F ve G ise, IDFI=ICGI dir.
İspat:
1- O noktası merkez olsun. O noktasın-
C C
dan [CD] kirişine, [OK] dikmesi çizi-
G G lirse ICKI=IDKI olur (merkezden kiri-
şe indirilen dikme kirişi ikiye böler,
O E O E
A B A B prensibini hatırlayalım).
K 2- [OK uzantısı, [FB] yi P noktasında
P
kessin. Şu halde IBPI=IPFI dir;
F F
çünkü IBOI=IOAI dır. Dolayısıyla
önce IFKI=IKGI ve sonrasında da
D D
IDFI=ICGI olduğu anlaşılır.
10. Arşimet Bağıntısı
Bir çember düşünün öyle ki bu çemberde AB ile AC teğet iken AD bir kesen olsun. Daha sonra C
noktasından AD ye paralel olan [CE] kirişini çizin. EB nin AD yi kestiği noktaya F deyip, F nokta-
sından EC ye [FG] dikmesini indirin. Bu işin sonunda IEGI=IGCI olur.
İspat:
B B 1- İspata s(ABC)=s(BEC)=β alarak başlaya-
lım. [DA] // [EC] verildiği için s(BFA)=β olur.
F K F K
D A D A Bu sayede A açısı ortak olan ABK ≈ AFB
gündeme gelir ki

E G C E G C

2- IABI=IACI olduğunu biliyoruz. Bu halde, şu eşitlik renk değiştirip halini alır.
Bu bize derhal FCA ≈ CKA benzerliğini yazma fırsatı verir.
3- Bu etapta s(BCA)=s(KCA)=s(CFA)=s(FCE)=β dır. Demek ki FEC ikizkenar bir üçgendir ve
IEGI=IGCI dir.

338