Page 340 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

11. Arşimet Bağıntısı

[AB] çaplı yarım çembere, dışındaki bir C noktasından [CD] ve [CE] teğetleri çiziliyor.
AE ∩ BD = {F} ise [CF] ⊥ [AB] dir.

İspat:
C C
1- s(DAE)=α, s(EAB)=β ve s(DBA)=θ
alıp, açıları yazınca;
D D
s(CDB)=s(DAB)=α+β ve
s(CEA)=s(EBA)=α+θ buluruz.

E E

F F
A K B A K B
2- Bu aşamada s(CDF)+s(CEF)=α+β+α+θ=90°+α=s(DFE) dir.
Yani CDFE merkezil dörtgen (niçin?) ve ICDI=ICFI=ICEI dir.
Bu yüzden s(CFD)=α+β olur.
3- CF ∩ AB ={K} dersek s(AFK)=90°-β olur ki bu s(AKF)=90° veyahut [CF] ⊥ [AB] demektir.

12. Arşimet Bağıntısı

[AB] çaplı r yarıçaplı çemberin içerisine, kenar uzunluğu IBCI olan bir düzgün beşgen çiziliyor. BC
küçük yayının orta noktası D olmak üzere; AD ∩ BC = {F}, AB ∩ CD = {E} olsun. F noktasından
[AB] ye indirilen dikme ayağı G ise, IEGI=r dir.

İspat:
C C

D D
F F
18°
18° 36° 36°
A E A E
O G B O G B

1- O merkezli düzgün beşgende s(BAC)=36° olduğunu hepimiz biliyoruz. Dolayısıyla
s(DAB)=s(DAC)=s(DCB)=s(DBC)=18° ve s(DOB)=s(DOC)=36° dir.
2- Ayrıca s(ACF)=s(FGA)=90° olduğu için ICFI=IFGI ve IACI=IAGI dir. (KAK) eşliğinden
CAD ≅ GAD ve bu sayede s(ACD)=s(AGD)=108° olur.
3- Ayrıca (DGB)=s(DBG)=72° ve s(BDE)=s(BED)=36° dir. Sonuç olarak, IOGI=IGDI=IDBI=IBEI
eşitliğinden IEGI=IOBI=r bulunur.
Arşimet'in hazinelerinden aldığımız bir düzine basit ve zarif bağıntıyı böylece incelemiş
olduk. Şimdi de teğetler dörtgeniyle ilgili bağıntılara geçiyoruz.

339