Page 346 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru ( 1996 TÜRKİYE ) :
Şekildeki ABCD yamuğunda s(C)=s(D)=90° dir. D, A, B noktalarından geçen ve yarıça-
pı 5 olan çemberin [DC] kenarını D dışında kestiği ikinci nokta E olmak üzere,
A D
E
Çözüm:
ù
ù
1- [AE] çap ve s(AB)=s(BE) olduğuna göre, AEB 45°-45°-90°
B C üçgenidir.
A 32 P 42 D 2- BP ⊥ AD çizimiyle, s(EBC)=s(PBA), APB ≅ ECB ve IAPI=IECI
olur. Şu halde |PA|=|EC|=3ñ2 dir
E
52 52 2- Şimdi IPDI yi bulalım: IAEI=10 verildiği için |EB|=|AB|=5ñ2 dir
32
90°-

B C
D Soru:
Bir ABCD teğetler dörtgeninin iç bölgesinde, ardışık kenarlara teğet ve birbiriyle kesiş-
C meyen dört çember düşünülüyor. Bu çemberlerden herbir ardışık çiftin diğer dışteğeti
alınarak, yeni bir dörtgen elde ediliyor. İşte bu yeni elde dörtgenin, bir teğetler dört-
A
geni olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
B D 1- Şekildeki ABCD teğetler dörtgeninde IADI+IBCI=IABI+IDCI
G olduğunu biliyoruz. Buradan IEKI+IPYI=ILXI+IGRI yazılabilir;
E
çünkü her iki taraftan eşit parçalar atılabilir.
R
H S C 2- Ortak dış teğet uzunluklarının eşit olduğu da dikkate alınırsa,
F D'
K N C' IHMI+ISVI=IEKI+IPYI=ILXI+IGRI=INZI+IFTI olur. Şuracıkta
A' P
A T aynı hareketi tekrarlarsak, IA'D'I+IB'C'I=IA'B'I+ID'C'I bulunur
L M ki bu A'B'C'D' dörtgeninin, bir teğetler dörtgeni olduğunun işa-
B'
Z retidir.
V
Y
X
B
Soru:
Bir açının farklı kolları üzerinde [AB] ve [CD] doğru parçaları alınıyor. Bu açının iç böl-
gesinde ise bir P noktası işaretleniyor. A(PAB)+A(PCD) toplamını sabit bırakacak
şekilde alınabilen P noktalarının geometrik yerini bulunuz.
Çözüm:
1- [AB] ve [CD] açının kolları
üzerinde kaydırılarak sıra-
B P B P
A A sıyla [OB'] ve [OD'] konumu-
B' P' na getirilirse, P den çizilen
yükseklik sabit kaldığından,
O O
C D D' C D d söz konusu olan alanlar top-
lamı değişmeyecektir.
2- PP'//B'D' olacak şekilde bir doğru düşünüldüğünde, alan kaydırma prensibi gereği,
A(P'B'D')=A(PB'D') olacağını biliyoruz. Bu durumda A(B'OD') hiç değişmediği için,
A(PB'OD')=A(P'B'OD')=A(PAB)+A(PCD) olduğunu söyleyebiliriz. O halde, P noktalarının geo-
metrik yeri; B'D' doğrusuna paralel bir doğrudur.

345