Page 350 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru ( 1998 TÜRKİYE ):
[BC] çaplı bir çemberin bu çapına dik olan bir kirişi [AD], AC ve CD yaylarının orta nok-
taları sırasıyla E ve F, AD ∩ BE = {G}, AF ∩ BC ={H} olmak üzere, s(Aù C)=α ise, BHG
açısının α cinsinden ölçüsü nedir?
Çözüm:
ù
180°-4k nırsa; s(CD)=4k, s(AB)=s(BD)=180°-4k
B B 1- Yazılış kolaylığı için s(AC)=α=4k alı-
ù
ù
ù
k ù ù ù ù
ve s(AE)=s(EC)=s(CF)=s(FD)=2k olur.
A G D A G D
k P k 'Çevre açı gördüğü yayın ölçüsünün
2k
Q 2k yarısına eşittir.' prensibiyle
2k 2k
H H s(DAF)=s(EBC)=k dır; şu halde GBP
üçgeninin dik üçgen olması GAQ
E F E F
üçgeninin de dik üçgen olmasını icap
2k 2k
C C eder.
3- H ve D noktalarını birleştirelim. Simetriden IAHI=IHDI olacağı için s(ADH)=k dır. Hem s(ADH)=k
ù
hem de s(AE)=2k olması gösteriyor ki D-H-E noktaları doğrusaldır.
Böylece s(AHE)=2k, AEHG deltoid, s(AHG)=k ve
Soru ( 2000 TÜRKİYE ) :
Bir ABCD dışbükey kirişler dörtgeninde s(ACB)=90°, s(ABD)=45°, IABI=26 ve IBCI=10
ise, DAC üçgeninin alanı nedir?
Çözüm:
H 52 1- ABD ikizkenar dik üçgen olduğu
D D 72 için |AD|=13ñ2 ve ACB dik üçge-
C C
ninden IACI=24 tür. ABCD çem-
12 2
10 13 2 10 bersel ve s(ACD)=45° dir. ACH
24 ikizkenar dik üçgeni oluşturulun-
ca |AH|=12ñ2 olur.
45° 45°
A 26 B A 26 B 2- AHD dik üçgeninden |HD|=5ñ2
olacağı için, IAHI=IHCI ile
|DC|=7ñ2 bulunur. Nitekim
Soru ( 2002 BALKAN ) :
ICAI=ICBI olan ABC üçgeninin çevrel çemberinin (C yi içermeyen) AB yayı üzerinde bir
P noktası alınıyor. C noktasından PB ye [CD] dikmesi çizildiğinde IPAI+IPBI=2.IPDI
olacağını kanıtlayınız.
Çözüm:
P P 1- PB üzerinde IPDI=IDQI olacak şekilde Q nokta-
A A
sı alalım. Bu durumda s(CAB)=s(CBA)=α ise

s(APC)=s(CPB)=s(CQB)=α olur.
2- Görüldüğü gibi s(PAC)=s(QBC) dir. Buradan
CAP ≈ CBQ olduğu anlaşılır. Üstelik ICPI=ICQI
D D olduğundan (KAK) eşliğiyle CAP ≅ CBQ olur.
C C
Dolayısıyla IAPI=IBQI bulunur. Bu şekilde

IPAI+IPBI=IPQI=2IPDI eşitliğine varılır.
B B

Q
349