Page 353 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru ( 1997 TÜRKİYE ):
Bir ABCD dışbükey dörtgeninde IADI=2, s(ABD)=s(ACD)=90°, E ve F noktaları sırasıyla ABD
ve ACD üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezi olmak üzere, |EF|=2 ise, |BC| nedir?
Çözüm:
B B 1- s(AED)=s(AFD)=135°
olduğunu biliyoruz; bunu
C C bilmek şunu bilmektir;
Q
E E AEFD bir kirişler dörtge-
2 F 135° P F nidir. AEFD kirişler dört-
135°
60° geninin köşegenleri P
A 2 D A 2 D noktasında kesişsin.

Bu halde s(PFD)=135° iken s(PDF)=30° dir.
2- [DE] açıortay olduğundan s(FDB)=s(EDA)-30° dir. [DF] açıortay olduğundan
s(EDA)+30°=s(FDB)+s(BDC)= s(EDA)-30°+s(BDC) olur. Buradan s(BDC)=60° bulunur.
3- ABCD kirişler dörtgeninin köşegenlerinin kesim noktasına Q dersek

Soru ( 2002 İberoamerican ) :
ABC üçgeninde [BD] açıortay olmak üzere, E ve F noktaları sırasıyla A ve C köşelerinden
BD açıortay doğrusuna indirilen yükseklik ayaklarıdır. M noktası ise D noktasından [BC]
kenarına çizilen yükseklik ayağıdır. Buna göre, s(DME)=s(DMF) olduğunu gösteriniz.

Çözüm:
A A
H

F F
D D
E E

B C B C
M M
1- Bunu şöyle kanıtlayabiliriz: D noktasından [AB] kenarına [DH] yüksekliği çizilirse IDMI=IDHI ve
AHED çembersel olur. H noktasının [BD] ye göre simetriği M noktası olduğu için, s(DME)=α
dersek s(DME)=s(DHE)=s(DAE)=α olur.
2- Resmin sağına bakıyoruz; [AE] // [CF] ile s(DCF)= s(DAE)=α olduğu gözükmektedir. DMCF
çembersel ise s(DCF)=s(DMF)=α olur. Böylelikle s(DME)=s(DMF) eşitliğini göstermiş oluruz.

352