Page 355 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru ( 2001 İberoamerican ) :
A
Q F E P ABC üçgeninin I merkezli iç teğet çemberi, üçgenin [BC], [CA] ve [AB] kenarlarına sıra-
sıyla D, E ve F noktalarında teğettir. BI ve CI doğruları EF doğrusunu sırasıyla P ve Q
I
noktalarında kesiyor. Bu durumda, DPQ üçgeninin ikizkenar üçgen olması, ABC
B C
D üçgeninin ikizkenar olmasını gerektirir. Kanıtlayınız.
Çözüm:
A 1- s(A)=2α, s(B)=2β, s(C)=2θ alınırsa α+β+θ=90° olur.
2 IAFI=IAEI olduğu için s(AFE)=90°-α, s(BFP)=90°+α
Q F E P ve s(FPB)=θ dır.

2- Diğer taraftan IBFI=IBDI olduğu için BFP ≅ DBP (KAK)
I ve s(DPB)=s(FPB)=θ dır.

B C
D
Aynı yolla s(DQP)=2β=s(B) ve bu sayede s(PDQ)=2α=s(A) bulunur. Sonuçta ABC ≈ DQP
olur. Dolayısıyla bunlardan birinin ikizkenar olması durumunda diğerinin de ikizkenar olması
normaldir.

Soru:
D
ABCD konveks dörtgeninde; AD ve BC doğruları K noktasında, AB ve CD doğruları L
noktasında, AC ve KL doğruları G noktasında, DB ve KL doğruları F noktasında kesiş-
mektedir.
A
Bu durumda olacağını gösteriniz.
C
B
Çözüm:1
D 1- 4.bölümde bahsettiğimiz alanlar oranından faydalanarak çözelim:
A
C
B
K F L G
Çözüm:2
1- Bu problem bir Ceva-Menelaus problemi olarak düşünülebilir.

354