Page 358 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Harmonik Işın Demeti
O
A'
X' B'
Y' O∉AB olmak üzere, oluyorsa, [OX ve [OY ışınları AOB açısını Harmonik
A
X B Y
olarak böler denir. [OA, [OX, [OB, [OY ışın kümesi Harmonik Işın Demeti diye bilinir ve O(AB;XY)
Pappus tarafından A, X, B, Y şeklinde gösterilir.
ve A', X', B', Y' çapraz oranları O O
(oranların oranı)nın eşit oldu-
ğu ispat edildi.
X Y
A
A X B Y B

Bu ise bize O(AB;XY) ⇔ (AB;XY) ilişkisini gösterir.

Soru:
(AB;XY) ⇒ (XY;AB) olacağını gösteriniz.
Çözüm:

⎧ (XY ;AB = 1
)
(AB XY =⇒ ⎨ ⎪ (AB ;YX = 1
)
1
)
;
⎪
⎩ (BA XY = 1 Soru:
)
;
ABC üçgeninin [BC], [AC] ve [AB] kenarları üzerinde sırasıyla D, E ve F noktaları alını-
yor. FE uzantısı, BC yi D' noktasında kesiyor. (D' D;CB)=1 ⇔ AD, BE, CF doğruları bir
noktada kesişir. Bu önermeyi ispat ediniz.
Çözüm:
A 1- Varsayalım ki (D' D;CB)=1 olsun. Şu halde
F
S
E olduğunu biliyoruz.
K
B D C D' B D C D'

AD, BE, CF doğrularının bir noktada kesiştiğini gösterir.
2- Karşıt olarak AD, BE, CF doğruları bir noktada kesişsin. Bu taktirde Menelaus teoreminden

(1) ve (2) birbirine eşitlenirse
Bu zaten harmonikliğin tanımıdır. D' noktası, D noktasının A ve B ye göre 4.harmoniğidir.
(Eksi işaretinin sebebi, CD' nün diğer yönlerin karşıtı olmasıdır.)
357