Page 360 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

A, B, C, D ∈ d ve X∉d olmak Soru:
üzere aşağıdakilerden ikisi
doğru iken diğeri de doğrudur: ''Bir üçgende iki iç açıortay ayağı ile diğer açının dış açıortay ayağı doğrusaldır.'' Bunu
harmonik orandan faydalanarak ispat ediniz.
i) (AC;BD)=1
ii) XB doğrusu AXC açısının iç Çözüm:
açıortayıdır.
Z Z 1- Bu soruyu (4.bölümden) hatırlamış
iii) XB ⊥ XD dir. olabilirsiniz. O kanıttan farklı olarak
bunu şöyle kanıtlayacağız:
X ve Y noktaları iç açıortay ayakla-
rı ve XY ∩ CA ={Z} olsun. Şu halde,
ABC üçgeninde BT açıortayı çizilin-
A A ce s(CBT)=s(TBA) olacağı açıktır.
T 2- İç açıortaylar bir noktada kesişir;
Y Y bunu biliyorsunuz. Dolayısıyla diye-
biliriz ki (ZT;AC) harmoniktir.
C C
B X B X
3- Hem s(CBT)=s(TBA) hem de (ZT;AC)=1 olması ZB ⊥ TB olmasını gerektirir. Bu da demek olu-
yor ki BZ dış açıortaydır.

Soru ( 1995 IMO Shortlist ):
ABC üçgeninin iç teğet çemberi [BC], [AC] ve [AB] kenarlarına sırasıyla D, E ve F nok-
talarında teğettir. ABC üçgeninin içerisinde bir X noktası alınıyor. BXC üçgeninin iç teğet
çemberi; [XB], [XC] ve [BC] kenarlarına sırasıyla Z, Y ve D noktalarında teğet ise EFZY
çemberseldir. Gösteriniz.
Çözüm:
A A 1- FE ve BC uzantıları K noktasında kesiş-
sin. AD ∩ BE ∩ CF = {Ge} (Gergonne
Noktası) olduğundan (KD;CB)=1 dir.
F X F X
E Z E 2- XD, BY, CZ doğruları da BXC üçgeninin
Z Gergonne noktasında kesişir; kesişme
Y Y
varsa, az önceki K noktası aynı zamanda
B B K
D C D C ZY doğrusu üzerinde bulunur.(Niçin?)
3-
Bu ise yeterince ikna edicidir.

Soru:
2
2
(AB;CD) harmonik olsun. O noktası [AB] nin orta noktasıdır ⇔ IAOI =IBOI =IOCI.IODI
dir. Bunu nasıl kanıtlarız?
O
A C B D
Çözüm:
r
O
A C B D

359