Page 359 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Aşağıdaki şekilde (ışınları Uyarı:
izleyiniz) ışınların merkezi;
F olarak algılanırsa Harmonik oran bize şunu söylemektedir:
(BC;DD')=(AK;DS) B ve C gibi rastgele iki nokta alıp, bunları birleştirin. BC üzerinde B ve C arasında bir D noktası
E olarak algılanırsa belirleyin. B ve C den geçen herhangi iki doğruyu A da kesiştirin ve AD yi çizin. AD üzerinde kesi-
(AK;DS)=(CB;DD') dür. Yani şecek şekilde BE ve CF yi alın. FE, BC yi D' noktasında kessin. Şu halde D' noktasının yeri B, C,
D noktalarının seçilmesine bağlı olup; A, E, F noktalarının seçilmesine bağlı değildir.
(BC;DD')=(CB;DD') eşitliği
doğrudur.
A
A
A
F A
1 d E F
F E
S F E
1 d d 2 3 d E d 4
K B D C D' B D C D' B D C D'
B D C D'
Soru:
A, B, C, D ∈ d ve X∉d olmak üzere, aşağıdakilerden herhangi ikisinin doğru olma-
sı durumunda, diğerinin mecburen doğru olacağını kanıtlayınız.
i) (AC;BD)=1
ii) XB doğrusu AXC açısının iç açıortayıdır.
iii) XB ⊥ XD dir.
Çözüm:
X X

ABCD tam dörtgeninde * *
(ZX;TY)=P(ZX;TY) * *
=P(AB;RY)
=(AB;RY)=1 dir.
Aynı düşünce ile A B C D A B C D
(PZ;AC)=(PX;DB)=(ZX;TY)=1 1- (i) ve (ii) doğru iken (iii) nin doğru olduğunu gösterelim:
olur.

T
Bu eşitlik ile anlarız ki; XD doğrusu, AXC açısının dış açıortayıdır ve dolayısıyla XB⊥XD dir.
D
2- (ii) ve (iii) doğru iken (i) nin doğru olduğunu gösterelim:
Z
P
C
A Y
R B

3- (i) ve (iii) doğru iken (ii) nin doğru olduğunu gösterelim:
X

O halde XB doğrusu AXC açısının iç açıortayıdır.
358