Page 361 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

Soru ( 2007 J.BALKAN ):
s(A)=90° olan ABC dik üçgeninde D noktası [AC] kenarı üzerinde bir nokta olmak üzere,
A noktasının BD ye göre simetriği E noktasıdır. D noktasından BC ye çizilen dik bir
doğru, CE yi F noktasında kesmektedir. Buna göre kanıtlayınız ki AF, DE ve BC doğ-
ruları bir noktada kesişir.
Çözüm:
A A 1- AEC üçgeninde; AF, DE ve
CS doğrularının bir noktada
D D kesiştiğini göstermek istiyo-
H H ruz. Bunun için, DF ve AE
uzantıları N noktasında
B C B C kesiştiğinde, (NS;EA)=1
S S
olduğunu göstermek yeterli-
F F
E E dir.

N
İlk adımda

2- Öklit ilişkisinden
3- Şu aşamada kanıt tamamlanmıştır (Yukarıdaki soruyu inceleyiniz). [AE] nin orta noktasının H
olması, bizi (NS;EA)=1 sonucuna götürür.
Bu kısımda, harmonik oranla ilgili başlıca tanım ve teoremleri inceleyerek, harmonikliğin çok
kullanışlı olduğunu görmüş olduk. Şimdi de Ptolemy Teoremi'nin değişik problemlere uygulanı-
şını göreceğiz.

6.4 Ptolemy ( M.Ö.168 - M.Ö.90 ) Teoremi

Kenar uzunlukları a, b, c, d ve İspat:
köşegen uzunlukları e, f olan
bir ABCD kirişler dörtgeninde D D 1- Şekildeki gibi, [AC] köşegeni üzerinde
c c s(ADK)=s(BDC)=θ olacak şekilde bir K
a.c+b.d=e.f dir.
C C noktası alalım. s(CBD)=s(KAD)=α,
d d
b b s(ACD)=s(ABD)=β, IACI=e ve IBDI=f
olmak üzere;

K
A B A B
a a

2- IACI=IAKI+IKCI eşitliğinde bu değerleri yazarsak, bulunur.

360