Page 364 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru:
ABCD konveks dörtgeninde, Ptolemy Eşitsizliği diye bilinen;
Eşitlik için P, Q, R noktaları IABI.ICDI+IBCI.IADI ≥ IACI.IBDI eşitsizliğini kanıtlayınız.
doğrusal olmalıdır.
Çözüm:
P, Q, R noktaları doğrusal
ise, D noktası (Simson teo- 1- ''Sinüs teoremi'' ile yola çıkıyoruz. D
reminden) ABC üçgeninin den [BC], [AC] ve [AB] ye çizilen yük-
çevrel çemberi üzerinde bir D D R
yerdedir. seklik ayakları P, Q ve R olsun. Şu
A A halde [CD] bir çaptır; CPQD kirişler
dörtgeninin çapıdır.
Q
C B C P B
2- ABC üçgeninin çevrel çemberinin çapı 2R olsun. ABC üçgeninde IABI=2R.sin(BCA) ve CPQ
üçgeninde IPQI=ICDI.sin(BCA) dır.

3- Şimdi PQR üçgeninde üçgen eşitsizliğini uygulayabiliriz:

Soru:
P
9 3 Yandaki şekilde ABCD kare, s(APD)=90°, IPDI=3 ve IPAI=9 ise IBPI kaçtır?
A D
Çözüm:1
P P 1- Soldaki şekilde |AD|=3ò10 dur.
9 3 9 3
A D A D
3
B C K
10
9
2- |BP| yi bulmak için, ABTP kiriş-

B T
310 C 10 B C ler dörtgeninde Ptolemy teore-
mi uygulayalım.

Çözüm:2
1- APD ≅ BKA düşünülürse, BPK dik üçgeninden IBPI=15 olur.

363