Page 366 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru ( 2001 BALTIK ÜLKELERİ ):
ABCD paralelkenarının A köşesinden çizilen bir çember, [AB] ve [AD] kenarlarını P ve
R noktalarında, [AC] köşegenini Q noktasında kesmektedir. Buna göre,
IAPI.IABI+IARI.IADI=IAQI.IACI dir. Kanıtlayınız.
Çözüm:
1- APQR çembersel dörtgeninde,
Ptolemy ilişkisi ile,
IAPI.IRQI+IARI.IPQI=IAQI.IPRI
eşitliği yazılabilir.

3- IAPI.IRQI+IARI.IPQI=IAQI.IPRI ifadesini ile çarparsak

eşitliği kanıtlanır.
Soru:
Ptolemy teoremini kullanarak sin(α+β)=sinα.cosβ+cosα+sinβ olduğunu gösteriniz.
Çözüm: 1- Bu sonuca şu hesapla varırız:
[BD] çap ve s(ABD)=s(ACD)=α,
A A
s(CBD)=s(CAD)=β olsun. IBDI=1 ise
cos sin cos ) IADI=sinα, IABI=cosα, ICDI=sinβ ve
IBCI=cosβ olacağı aşikârdır. ACD
+ sin üçgeninde ise sinüs teoreminden
B D B sin( D
sin IACI=sin(α+β) dır.
sin cos 2- Burada Ptolemy Teoremi
cos
1.sin(α+β)=sinα.cosβ+cosα.sinβ oldu-
C C ğunu söylemektedir.
Soru:

Çözüm:
1- Ptolemy teoremi uygulayarak
A 7 A 7
çözümü siz tamamlayınız.
A 6 A 6
A 1 A 1

sin3
sin2 A 5

A 2 A 2 sin2 sin3
A 5

sin
sin
A 3 A 4 A 3 A 4
365