Page 368 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

Soru:
Kenar uzunlukları a, b, c olan ABC üçgeninin açıları sırasıyla α, 3α ve 5α ise;
(c-a).(c+a)=b.c olduğunu ispat ediniz.
Çözüm:
1- İlgilendiğimiz üçgenin iç açılar toplamı
9α dır; düzgün dokuzgen çiziyoruz.
ACBD kirişler dörtgeninde Ptolemy teore-
B B c D mi yardımıyla a.a+b.c=c.c olur. Buradan

3 c 3 3 istenen eşitlik kolayca bulunur.
a a 4 a
5 4
C A
C b A b

6.5 Carnot (1753-1823) Teoremi - II

İç teğet çemberinin yarıçapı r İspat:
olan bir ABC üçgeninin çevrel
çemberinin merkezi O ve A A 1- A', B', C' noktaları kenarların orta
yarıçapı R dir. noktalarıdır. AC'OB' kirişler dörtge-
nidir; Ptolemy teoremi uygulanırsa,
O noktasından [BC], [AB] ve R
C' B' C' R B'
[AC] kenarlarına çizilen dik-
melerin ayakları sırasıyla A',
O O
C' ve B' ise,
IOA'I+IOB'I+IOC'I=R+r dir. B C B C
A' A'

2- Benzer şekilde BA'OC' ve CB'OA' dörtgenlerinden

3- A(ABC)=u.r bağıntısını biliyoruz. Bu sayede

(4) ve (5) eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa,

Uyarı:

ABC üçgeni, A açısı geniş açı olan bir üçgen ise; IOB'I+IOC'I-IOA'I=R+r dir.

367