Page 369 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

6.6 Steiner Teoremi

Bir ABC üçgeninde İspat:

1- Şekildeki ABC üçgeni-
nin, çevrel çemberine
ait [PP'] çapının çizil-
diğini düşünelim.
PP' ∩ BC={R'} der-
sek, IXBI=IYCI=u-a
olduğunu biliyorsu-
nuz, IBR'I=IR'CI ve
bu sayede IXR'I=IYR'I
olur.

2- doğruları tanzim edilirse, IIRI=II'R'I=II''R''I=r ve
olur. (Burada eşitliğini kullanıyoruz. Aşağıdaki soruda onu da ayrıca inceleyelim.)

3- XYI I yamuğunda [P'R'] orta tabandır.
b c

(Zarif bir eşitlik, değil mi?)
Uyarı:

IA'A''I, IB'B''I ve IC'C''I uzunlukları yardımıyla, yukarıdaki Carnot Teoremi (II) kolaylıkla kanıtla-
nabilirdi. Şöyle ki

Soru:
ABC üçgeninde, I ve I sırasıyla, iç teğet ve dış teğet çemberlerin merkezleridir. AI nın
a a
çevrel çemberi kestiği nokta P olmak üzere, P noktası IBI C kirişler dörtgeninin merke-
a
zidir. İspatlayınız.
Çözüm:
1- ABC üçgeninin iç açıları 2α, 2β ve 2θ
A A
alınırsa; s(BIP)=s(IBP)=α+β olacağın-
dan IIPI=IBPI dir. Aynı şekilde
I I IIPI=ICPI olur.
2- Hem α+β+θ=90° hem de s(IBI )=90°
a
B C B C ise s(PBI )=θ dır. Zaten s(BPI)=2θ idi,
a
demek ki s(BI P)=θ ve IBPI=IPI I dır.
a
P P Böylelikle IIPI=IPI I=IPCI=IPBI a
a
olduğu görülür ki bu kanıt yeterince
aydınlatıcıdır.
I a I a
368