Page 370 - 100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ-MATEMATİK OLİMPİYATLARI

6. BÖLÜM ÇEMBERLER - II

6.7 Japon Teoremi

1800 yılında bir tapı- İspat:
nak duvarına şunların
yazıldığı söylenir:
E E 1- n=4 için gösterelim:
Bir daire içerisine
konveks bir çokgen çizin ve Önce, O merkezli çemberde A köşe-
onu üçgenlere ayırın. D D sinden geçen [AC] köşegenini çize-
Oluşan her üçgenin iç teğet lim. ADC ve ABC üçgenlerinin iç
A A
çemberini çizin. teğet çemberinin yarıçapları sırasıy-
la r ve r' olduğunda, Carnot teoremi
Bu çemberlerin yarı-
C C bize şunu söyler:
çapları toplamı, çokgeni
üçgenlere nasıl ayırırsanız IOC'I+IOD'I+IOE'I=R+r. (c kenarının
ayırın, hep aynıdır. Yani orta noktasını C' alıyoruz vb.)
B B
yarıçaplar toplamı seçilen IOB'I+IOA'I-IOE'I=R+r'. Bu sayede
köşeden bağımsızdır. D D r+r'=IOA'I+IOB'I+IOC'I+IOD'I-2R
d d bulunur.
r p 2- Şimdi, B köşesinden geçen [AD]
A c A c köşegenini çizelim. BAD ve BCD
O
f üçgenlerinin iç teğet çemberinin
e
a yarıçapları sırasıyla p ve p' olsun.
r' a
b C p' C
b
B B

Aynı şekilde
IOA'I+IOD'I+IOF'I=R+p
IOB'I+IOC'I-IOF'I=R+p' olur. Buradan p+p'=IOA'I+IOB'I+IOC'I+IOD'I-2R bulunur. Demek olu-
yor ki yarıçaplar toplamı, seçilen köşeden bağımsızdır.

6.8 Çemberde Kuvvet

Bir çember ve bir P noktası Soru:
verilsin. P noktasından geçen Aşağıdaki 4 farklı durumda, P noktasının çembere göre kuvvetini bulunuz.
herhangi bir kesen, çemberi A
ve B noktalarında kessin. Bu
durumda IPAI.IPBI sabittir; P P P
IPAI.IPBI sabitine, P noktası-
T T A A
nın bu çembere göre kuvveti A
denir. r A r C B C
O C P D
O r
B
D D B
2
2
IPTI =IPOI -r 2 IPTI =IPAI.IPBI=IPCI.IPDI=(IPOI-r).(IPOI+r)=IPOI -r 2 IPAI.IPBI=IPCI.IPDI
2
2

369